. Hay $11$ bolas: $5$ rojas y $6$ blancas. Se sabe que una bola roja y una bola blanca son radiactivas. Para cualquier grupo elegido de bolas, una sola prueba con un detector puede determinar si el grupo contiene al menos una bola radiactiva (pero no cuántas). ¿Cómo pueden identificarse ambas bolas radiactivas usando no más de $5$ pruebas? P2. Halle todos los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ que satisfacen, para todo $x\in\mathbb{R}$ , las igualdades $P(Q(x))=x^{4}-5x^{2}+7$ y $Q(x-1)=x^{2}-2x-1$ . P3. Imagine que frente a usted cuelga un paralelepípedo rectangular con dimensiones $10cm \times 10cm \times 20cm$ (por ejemplo, uno obtenido pegando dos cubos de lado $10cm$ ) . Una mariquita se coloca en un vértice del paralelepípedo (véase la figura). Suponga que no quiere volar, sino que se arrastra por la superficie con velocidad constante en todas direcciones. ¿Cómo puede la mariquita alcanzar el vértice opuesto en el menor tiempo, y cuántos centímetros recorrerá? https://i.sstatic.net/Z2PoqrmS.png P4. Se da un triángulo $ABC$ . Se elige un punto $K$ sobre el lado $AB$ , y un punto $L$ sobre el segmento $CK$ tales que $AK=KL=\frac{1}{2}KB$ . Se sabe que $\angle CAB=45^{\circ}$ y $\angle CKB=60^{\circ}$ . Demuestre que $AL=BL=CL$ . P5. El número $A=\frac{\sqrt{x^{2}+x-6}+\sqrt{-x^{2}-x+6}}{|x-2|}+(5+x)^{2017}$ es un entero. Halle las dos últimas cifras de $A$ . P6. ¿De cuántas maneras puede representarse el número $2017$ como una suma de varios sumandos ordenados de manera no decreciente, de modo que la diferencia entre el último y el primer sumando no exceda $1$ ?