. Se da una sucesión de números $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}$ tal que $|d_i|\leqslant1$ para todo $i=1, 2, \ldots, n$ . Demuestre que es posible elegir números $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}$ de $\{+1,-1\}$ tales que, para todo $i=1, 2, \ldots, n$ , $|s_{1}d_{1}+s_{2}d_{2}+\ldots+s_{i}d_{i}|\leqslant1$ . P2. Sea $M$ el punto de intersección de las medianas de un triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que si los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $AMB$ , $BMC$ y $CMA$ son iguales, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. P3. Un conjunto $A$ consta de enteros. Su elemento más pequeño es $1$ , y su elemento más grande es $100$ . Todo elemento de $A$ , excepto $1$ , es igual a la suma de dos elementos (no necesariamente distintos) de $A$ . Entre todos los conjuntos $A$ que satisfacen estas condiciones, determine aquel con el número mínimo posible de elementos. P4. Demuestre que el número $(1+\sqrt{2})^{2018}$ puede escribirse en la forma $a+b\sqrt2$ , donde $a$ y $b$ son enteros coprimos. P5. El área de cualquier triángulo cuyos vértices están sobre los lados de un polígono convexo dado es menor que $1$ . Demuestre que este polígono está contenido dentro de algún triángulo de área $4$ . P6. Del conjunto $\{0,1,2,3,4,5\}$ , se eligen $32$ subconjuntos tales que cualesquiera tres de ellos tengan un elemento común. Demuestre que todos estos subconjuntos tienen un elemento común.