. Demuestre que para todo número real positivo $x$ se cumple la desigualdad $2^{\sqrt[12]{x}}+2^{\sqrt[4]{x}}\ge 2\cdot 2^{\sqrt[6]{x}}$ . P2. Sea $O$ el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que si los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $AOB$ , $BOC$ y $COA$ son iguales, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. P3. En un país con $N$ ciudades, entre dos ciudades cualesquiera hay una conexión directa, ya sea por avión o por barco. Demuestre que usando solo un tipo de transporte es posible viajar de cualquier ciudad a cualquier otra (posiblemente con transbordos). P4. Los números naturales $a, b, c,$ y $d$ satisfacen la igualdad $ab=cd$ . Demuestre que el número $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ es compuesto. P5. ¿Es posible elegir nueve números distintos $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}$ del conjunto $\{1,\, 2,\, \ldots,\, 9,\, 10\}$ tales que los nueve números $|a_{1}-a_{2}|, |a_{2}-a_{3}|, \ldots, |a_{8}-a_{9}|, |a_{9}-a_{1}|$ sean todos distintos? P6. En el triángulo $ABC$ , se trazan la altura $AH$ y la bisectriz $BE$ . Demuestre que si $\angle BEA=45^{\circ}$ , entonces también $\angle EHC=45^{\circ}$ .