. La suma de $n$ números es igual a $0$ , y la suma de sus valores absolutos es igual a $a$ . Demuestre que la diferencia entre el mayor y el menor de estos números es al menos $\frac{2a}{n}$ . P2. Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que si los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $AHB$ , $BHC$ y $CHA$ son iguales, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. P3. En un torneo de tenis participaron $n$ profesionales y $2n$ aficionados. Cada par de jugadores jugó exactamente un partido entre sí. Se sabe que la razón entre el número de victorias logradas por los profesionales y el número de victorias logradas por los aficionados es $7:5$ (en el tenis no hay empates). Halle $n$ . P4. En el triángulo $ABC$ , se traza la bisectriz $AK$ . Se sabe que el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo $ABK$ coincide con el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Halle los ángulos del triángulo $ABC$ . P5. ¿Es posible elegir diez números distintos $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ del conjunto $\{1,\, 2,\, \ldots,\, 10,\, 11\}$ tales que los diez números $|a_{1}-a_{2}|, |a_{2}-a_{3}|, \ldots, |a_{9}-a_{10}|, |a_{10}-a_{1}|$ sean todos distintos? P6. ¿Existe un entero positivo que sea divisible por el número $\underbrace{111\ldots1}_{m\text{ digits}}$ y cuya suma de dígitos sea menor que $m$ ?