. Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y $\angle B=36^\circ$ . La longitud de la bisectriz trazada desde el vértice $B$ es igual a $10$ . Halle la longitud de la altura trazada desde el vértice $A$ . P2. Halle todos los números naturales $n$ tales que el número $n^{4}-2n^{3}+23n^{2}-22n+16$ es un cuadrado perfecto. P3. En la olimpiada «Ruta de la Seda», en la que participaron $100$ estudiantes, se propusieron cuatro problemas. El primer problema fue resuelto por $90$ estudiantes, el segundo por $80$ , el tercero por $70$ y el cuarto por $60$ . Ningún estudiante resolvió los cuatro problemas. ¿Cuántos estudiantes resolvieron exactamente tres problemas? Justifique su respuesta. P4. Un número de $2019$ cifras se escribe usando solamente las cifras $1$ , $3$ y $5$ . Un divisor de este número se llama alegre si su última cifra es $7$ . Demuestre que menos de la mitad de todos los divisores del número son alegres. P5. Se elige un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$ . Demuestre que si los circunradios de los triángulos $PAB$ , $PBC$ y $PCA$ son iguales, entonces el punto $P$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . P6. Para números reales positivos $a, b, c$ que satisfacen $abc=2$ , demuestre la desigualdad $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geqslant a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$ .