. Un polinomio con coeficientes enteros se llama bueno si el máximo común divisor de sus coeficientes es igual a $1$ . Demuestre que el producto de dos polinomios buenos es también un polinomio bueno. P2. Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ , respectivamente. La circunferencia con diámetro $DE$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $F$ y $G$ , respectivamente. Los segmentos $FG$ y $AH$ se intersecan en el punto $K$ . Si $BC=25$ , $BD=20$ y $BE=7$ , halle la longitud del segmento $AK$ . P3. Halle todas las soluciones de la ecuación $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2019$ en números naturales. P4. Se elige un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$ . Demuestre que si los circunradios de los triángulos $PAB$ , $PBC$ y $PCA$ son iguales, entonces el punto $P$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . P5. La sucesión $\{a_{n}\}$ está definida por $a_{0}=0$ y $a_{n+1}=1010a_n+\sqrt{(1010^2-1)a_n^2+1}$ , para $n=0, 1, 2, \ldots$ . Demuestre que cada término de la sucesión es un entero y que todos los términos con índices pares son divisibles por $2020$ . P6. Una cuadrícula rectangular de $16\times16$ se llena con ceros y unos. Si se eligen dos columnas cualesquiera, entonces el número de filas en las que las entradas de estas columnas coinciden es menor que $9$ . Demuestre que el número total de ceros en la cuadrícula no supera $160$ .