. Se sabe que $a^{2019}+b^{2019}=P(a+b,ab)$ para algún polinomio $P(x,y)$ con coeficientes enteros. Halle la suma de los coeficientes de este polinomio. P2. Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ , respectivamente. La circunferencia con diámetro $DE$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $F$ y $G$ , respectivamente. Los segmentos $FG$ y $AH$ se intersecan en el punto $K$ . Si $BC=25$ , $BD=20$ y $BE=7$ , halle la longitud del segmento $AK$ . P3. Halle todas las soluciones de la ecuación $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2019$ en números naturales. P4. Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre la diagonal $DB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ y sobre su prolongación más allá del punto $B$ , respectivamente, de modo que $\angle DAE=\angle BCF$ . Demuestre que $\angle DCE=\angle FAB$ . P5. Una sucesión de números reales positivos $\{a_{i}\}$ satisface las condiciones $a_{1}+a_{2}=2019$ y $a_{n-1}a_{n+1}=a_{n}$ para $n=2, 3, \ldots$ . Halle el valor mínimo posible de la suma $a_{2020}+a_{2021}$ . P6. Una cuadrícula rectangular de $16\times16$ se llena con ceros y unos. Si se eligen dos columnas cualesquiera, entonces el número de filas en las que las entradas de estas columnas coinciden es menor que $9$ . Demuestre que el número total de ceros en la cuadrícula no supera $160$ .