. En el triángulo $ABC$ , se traza la bisectriz $AK$ . Sobre las rectas $AB$ y $AC$ , se eligen respectivamente los puntos $E$ y $D$ ( $E \neq A,\, D \neq A$ ) . Se sabe que los puntos $E$ y $D$ están en el mismo lado de la recta $BC$ , y que $EB=BK$ y $CD=CK$ . Demuestre que si el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $EBCD$ está sobre la recta $AK$ , entonces $AB=AC$ . P2. Halle todos los números naturales $a, b, c$ tales que \[a+(b,c)=b+(c,a)=c+(a,b).\] Aquí $(x,y)$ denota el máximo común divisor de $x$ e $y$ . P3. Sean $a_{1},\, a_{2},\, \ldots,\, a_{2022}$ números naturales. Para cada par de índices $i<j$ , se escriben los números $a_{i}+a_{j},\, a_{i}a_{j}$ y $|a_{i}-a_{j}|$ . Halle el máximo número posible de números impares entre todos los números escritos. P4. Demuestre que para todos los números reales $a,b$ se cumple la siguiente desigualdad: \[a^{2}+141ab+5476b^{2}\geqslant5a+1364b-512.\]