. Cincuenta bolas están numeradas con los enteros del $1$ al $5$ . (a) ¿Es posible distribuirlas en $10$ cajas de modo que en cada caja haya una bola cuyo número sea igual al número de bolas de esa caja (incluida esa bola)? (b) ¿Es posible distribuirlas en $9$ cajas de modo que en cada caja haya una bola cuyo número sea igual al número de bolas de esa caja (incluida esa bola)? P2. Sean $G(x,y)=\sqrt{xy}$ y $H(x,y)=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ la media geométrica y la media armónica de los números positivos $x, y$ , respectivamente. En un triángulo rectángulo, desde el ángulo recto se trazan la altura, la bisectriz del ángulo y la mediana, con longitudes $h$ , $b$ y $m$ , respectivamente. Demuestre que $G(h,\,H(h,m))=b.$ P3. (a) Resuelva la ecuación $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ en enteros $x,y$ . (b) ¿Es posible resolver la ecuación $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ en enteros $x,y$ ?