. Sean $a, b$ números reales no negativos tales que $a+b=1$ . Demuestre la desigualdad \[\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leqslant a^{3}+b^{3}.\] P2. Un club de matemáticas consta de dos niñas y siete niños. ¿De cuántas maneras se pueden dividir estas nueve personas en tres grupos de tres personas cada uno, de modo que cada grupo contenga al menos dos niños? P3. Sea $s(x)$ la suma de los dígitos de un número natural $x$ . Por ejemplo, $s(2025)=2+0+2+5=9$ . Demuestre que la ecuación \[s(n^{2})+2s(n+2)=2025\] no tiene soluciones en el conjunto de los números naturales. P4. Sea $ABCD$ un cuadrado. Una circunferencia con centro en $C$ y radio $CB$ interseca a la circunferencia con diámetro $AB$ en el punto $E$ . Si $AB=2$ , halle $AE$ .