. Las aristas de un paralelepípedo rectangular tienen longitudes $a$ , $b$ y $c$ , que son iguales a $5$ , $8$ y $10$ respectivamente. Halle la longitud de la diagonal espacial del paralelepípedo. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3\sqrt{21}$ & (B) $10\sqrt{3}$ & (C) $13$ & (D) $9\sqrt{19}$ & (E) $12\sqrt{2}$ \end{tabular} Q2. Resuelva el acertijo: $C.BA+A.AA=B.A$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $A=0, B=2, C=6$ & (B) $A=5, B=3, C=8$ & (C) $A=5, B=9, C=3$ & (D) $A=2, B=5, C=4$ & (E) $A=0, B=1, C=7$ \end{tabular} Q3. En la figura siguiente, las tres formas azules son cuadrados; la forma naranja es un cuadrado de lado $18$ . El punto $A$ es el centro del círculo verde, y el punto $B$ es el centro del círculo rojo. Halle la longitud del segmento $CD$ . [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); pair B=(0,0), A=(24,0), C=(0,18), D=(0,30); path wA=circle(A,24), wB=circle(B,30); filldraw(shift(A)*scale(6)*unitsquare, lightblue+opacity(0.5), blue); filldraw(shift(A+(0,6))*scale(6)*unitsquare, lightblue+opacity(0.5), blue); filldraw(shift(A+(0,12))*scale(6)*unitsquare, lightblue+opacity(0.5), blue); filldraw(shift(A+(6,0))*scale(18)*unitsquare, orange+opacity(0.5), orange); draw(wA, green); draw(wB, red); draw(B--A--(24,18)--C--cycle); draw(C--D); dot("$A$", A, SW, green); dot("$B$", B, SW, red); dot("$C$", C, W); dot("$D$", D, SW); label("$18$", (30,0)--(48,0)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10$ & (B) $14$ & (C) $18$ & (D) $22$ & (E) $12$ \end{tabular} Q4. Un cuadrado mágico es una cuadrícula de $3\times3$ en la que las sumas de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales principales son iguales. La figura muestra un cuadrado mágico en el que se han borrado todos los números excepto tres. Halle el número en la esquina superior izquierda del cuadrado. [asy] unitsize(1cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<3; ++i){ for(int j=0; j<3; ++j){ draw(shift(i,j)*unitsquare);}} label("$13$", (0.5,1.5), fontsize(16)); label("$?$", (0.5,2.5), fontsize(16)); label("$31$", (1.5,2.5), fontsize(16)); label("$9$", (2.5,2.5), fontsize(16)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $14$ & (B) $25$ & (C) $92$ & (D) $12$ & (E) $90$ \end{tabular} Q5. Un juego completo de $28$ fichas de dominó distintas se ordena de modo que el número de puntos en las mitades en contacto de fichas adyacentes sea el mismo en todas partes. En algunas mitades, el número de puntos ha sido completamente borrado. La configuración resultante se muestra en la figura siguiente (las mitades borradas podrían haber tenido originalmente cualquier número de puntos, incluido cero). ¿Cuántos puntos hay en cada mitad del dominó amarillo? [asy] unitsize(1cm); path[] dom=scale(0.1)*(arc((1,1), 1, -180, -90)--(19,0)--arc((19,1), 1, -90, 0)--(20,9)--arc((19,9), 1, 0, 90)--(1,10)--arc((1,9), 1, 90, 180)--cycle^^(10,1)--(10,9)); path[] dots=scale(0.1)*(circle((2,8),1)^^circle((5,8),1)^^circle((8,8),1)^^circle((5,5),1)^^circle((2,2),1)^^circle((5,2),1)^^circle((8,2),1)); void domino(int i, int j, pair P, bool b=false){ path[] h1,h2; if(i==1){ h1=dots[3];} if(i==2){ h1=dots[0]^^dots[6];} if(i==3){ h1=dots[0]^^dots[3]^^dots[6];} if(i==4){ h1=dots[0]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[6];} if(i==5){ h1=dots[0]^^dots[2]^^dots[3]^^dots[4]^^dots[6];} if(i==6){ h1=dots[0]^^dots[1]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[5]^^dots[6];} if(j==1){ h2=dots[3];} if(j==2){ h2=dots[0]^^dots[6];} if(j==3){ h2=dots[0]^^dots[3]^^dots[6];} if(j==4){ h2=dots[0]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[6];} if(j==5){ h2=dots[0]^^dots[2]^^dots[3]^^dots[4]^^dots[6];} if(j==6){ h2=dots[0]^^dots[1]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[5]^^dots[6];} draw(shift(b?(1,0):(0,0))*rotate(b?90:0, P)*shift(P)*dom); fill(shift(b?(1,0):(0,0))*rotate(b?90:0, P)*shift(P)*h1, black); fill(shift(b?(1,0):(0,0))*rotate(b?90:0, P)*shift(P+(1,0))*h2, black);} int c=0; for(int i=0; i<7; ++i){ for(int j=i; j<7; ++j){ domino(i,j,(3*(c-c%7)/7,1.5*(6-c%7))); ++c;}} domino(5,0,(14,9)); draw(shift(16,9)*dom); draw(shift(18,10)*rotate(-90)*dom); draw(shift(18,8)*rotate(-90)*dom); draw(shift(17,5)*dom); draw(shift(15,5)*dom); domino(0,4,(14,4),true); draw(shift(14,4)*rotate(-90)*dom); draw(shift(14,2)*rotate(-90)*dom); draw(shift(15,0)*dom); domino(0,3,(17,0)); draw(shift(21,10)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,8)*rotate(-90)*dom); domino(2,0,(21,5)); draw(shift(23,5)*dom); domino(0,3,(25,5)); draw(shift(22,9)*dom); draw(shift(24,9)*dom); draw(shift(26,10)*rotate(-90)*dom); draw(shift(26,8)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,5)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,3)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,0)*dom); draw(shift(23,0)*dom); domino(1,0,(25,0)); draw(shift(26,3)*rotate(-90)*dom); draw(shift(26,5)*rotate(-90)*dom); fill(shift(19,9)*dom[0], yellow); draw(shift(19,9)*dom); label("$A$", (19.5,9.5), fontsize(16)); label("$B$", (20.5,9.5), fontsize(16)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $A=2, B=4$ & (B) $A=5, B=6$ & (C) $A=8, B=2$ & (D) $A=5, B=2$ & (E) $A=2, B=5$ \end{tabular} Q6. Un número primo $p$ es tal que $p+25$ es la séptima potencia de un número primo. ¿Cuáles son todos los valores posibles de $p$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $771$ & (B) $299$ & (C) $103$ & (D) $527$ & (E) $1307$ \end{tabular} Q7. Un triángulo obtusángulo $ABC$ tiene un ángulo obtuso en $C$ . Los puntos $P$ y $Q$ están sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente, tales que $\angle ACP=\angle CPQ=90^{\circ}$ . Halle la longitud del segmento $PQ$ si $AC=25$ , $CP=20$ y $\angle APC=\angle A+\angle B$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12$ & (B) $16$ & (C) $20$ & (D) $42$ & (E) $17$ \end{tabular} Q8. Simplifique la expresión $x^{4}+7x^{3}-21x^{2}-27x$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $(x-1)(x-2)(x+7)x$ & (B) $(x+1)(x-3)(x+9)$ & (C) $(x+1)(x-3)(x+9)x$ & (D) $(x-1)(x+3)(x+9)x$ & (E) $(x+3)(x-1)(x+9)$ \end{tabular} Q9. La suma de tres divisores positivos distintos de un entero positivo impar $n$ es $10327$ . ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10327$ & (B) $15633$ & (C) $8725$ & (D) $6735$ & (E) $9817$ \end{tabular} Q10. Sobre una circunferencia $\omega$ , los puntos $B$ y $D$ están en lados opuestos del diámetro $AC$ . Se sabe que $AB=3\sqrt{6}$ , $CD=3$ y el área del triángulo $ABC$ es tres veces el área del triángulo $BCD$ . Halle el radio de la circunferencia $\omega$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $7$ & (B) $9$ & (C) $3.5$ & (D) $5$ & (E) $4.5$ \end{tabular} Q11. El producto de dos números positivos $a$ y $b$ es $1$ . Se sabe que $(3a+2b)(3b+2a)=295$ . Halle $a+b$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $45$ & (B) $12$ & (C) $4$ & (D) $7$ & (E) $47$ \end{tabular} Q12. Sobre el lado $AC$ de un triángulo equilátero $ABC$ , se marca un punto $D$ . Sobre los segmentos $AD$ y $DC$ , se construyen triángulos equiláteros $ADE$ y $DCF$ exteriormente al triángulo $ABC$ . Se sabe que el perímetro del triángulo $DEF$ es $19$ y el perímetro del pentágono $ABCFE$ es $43$ . Halle las longitudes de los segmentos $AB$ y $EF$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12, 5$ & (B) $15, 12$ & (C) $12, 7$ & (D) $7, 15$ & (E) $7, 12$ \end{tabular} Q13. En un grupo, algunos pares de personas son amigos (si $A$ es amigo de $B$ , entonces $B$ es amigo de $A$ ) . Resulta que entre cualesquiera $100$ personas del grupo, el número de pares de amigos es impar. Halle el máximo número total posible de personas en el grupo. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $422$ & (B) $263$ & (C) $141$ & (D) $101$ & (E) $100$ \end{tabular} Q14. Factorice la expresión $2x^{4}-2x^{2}-24$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $(x-2)(x^{2}+3)(2x+4)$ & (B) $(x+2)(x+3)(2x-4)$ & (C) $(x-2)(x^{4}+3)(2x-4)$ & (D) $(x-3)(3x-2)(x^{3}+1)$ & (E) $(x+2)(x+3)(2x+4)$ \end{tabular} Q15. Sean $x$ e $y$ números reales no nulos tales que $\frac{3x+y}{x-3y}=-2$ . Halle el valor de la expresión $\frac{x+3y}{3x-y}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $-1$ & (B) $-3$ & (C) $1$ & (D) $2$ & (E) $3$ \end{tabular}