. Un triángulo rectángulo isósceles $ABC$ tiene un ángulo recto en $A$ . Un cuadrado $KLMN$ está posicionado como se muestra en la figura: los puntos $K$ , $L$ y $N$ están sobre los lados $AB$ , $BC$ y $AC$ , respectivamente, y el punto $M$ está dentro del triángulo $ABC$ . Halle la longitud del segmento $AC$ si $AK=7$ y $AN=3$ . [asy] import geometry; size(6cm); pair A=(0,0), B=(0,17), C=(17,0), K=(0,7), N=(3,0), M=(10,3), L=(7,10), I=incenter(A,B,C), O=intersectionpoint(K--M, N--L);; draw(A--B--C--cycle); draw(K--L--M--N--cycle); dot("$A$", A, dir(I--A)); dot("$B$", B, dir(I--B)); dot("$C$", C, dir(I--C)); dot("$K$", K, dir(O--K)); dot("$N$", N, dir(O--N)); dot("$M$", M, dir(O--M)); dot("$L$", L, dir(O--L)); markrightangle(C, A, B); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $15$ & (B) $17$ & (C) $23$ & (D) $25$ & (E) $9$ \end{tabular} Q27. Se escribieron todos los divisores positivos de un número natural $N$ y luego se calculó la suma de las cifras de cada divisor. Resultó que entre estas sumas estaban todos los números del $1$ al $9$ . Halle el menor valor posible de $N$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $144$ & (B) $288$ & (C) $346$ & (D) $502$ & (E) $998$ \end{tabular} Q28. La altura $CH$ trazada desde el vértice del ángulo recto del triángulo $ABC$ biseca a la bisectriz $BL$ de este triángulo. Halle la medida del ángulo $BAC$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $90^{\circ}$ & (B) $60^{\circ}$ & (C) $45^{\circ}$ & (D) $30^{\circ}$ & (E) $70^{\circ}$ \end{tabular} Q29. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero $ABCD$ , respectivamente. Se sabe que $\angle B=150^{\circ}$ , $\angle C=90^{\circ}$ y $AB=CD$ . Halle el ángulo entre las rectas $MN$ y $BC$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $40^{\circ}$ & (B) $30^{\circ}$ & (C) $55^{\circ}$ & (D) $45^{\circ}$ & (E) $60^{\circ}$ \end{tabular} Q30. Se sabe que $a^{2}+b=b^{2}+c=c^{2}+a$ . ¿Qué valores puede tomar la expresión $(a^{2}-b^{2})+b(b^{2}-c^2)+c(c^{2}-a^{2})$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $1$ & (C) $2$ & (D) $5$ & (E) $10$ \end{tabular}