. Un libro tiene $296$ páginas. Arman decidió contar cuántas cifras se usaron para numerar todas las páginas y cuántas veces se usó la cifra $8$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $790$ and $79$ & (B) $720$ and $80$ & (C) $800$ and $60$ & (D) $780$ and $59$ \end{tabular} P2. Tres amigas usaron vestidos blanco, azul y verde, con zapatos de los mismos colores respectivos. Solo el vestido y los zapatos de Aliya coincidían en color. El vestido y los zapatos de Kamila no eran blancos. Zhana llevaba zapatos verdes. Determine el color del vestido de Zhana. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) Blue & (B) White & (C) Green & (D) Cannot be determined \end{tabular} P3. Sobre la fecha de la Batalla de Grunwald se sabe lo siguiente: el número de centurias del año es el doble del número ordinal del mes en que ocurrió y también es una unidad menor que el número de ese mes. El día en que ocurrió la batalla es cinco unidades mayor que el número de años transcurridos desde el comienzo de la centuria. Además, un tercio del día equivale a la mitad del número de años transcurridos desde el comienzo de la centuria. ¿En qué año ocurrió la Batalla de Grunwald? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $15.06.1412$ & (B) $20.07.1510$ & (C) $15.07.1410$ & (D) $22.08.1420$ \end{tabular} P4. ¿Cuántos números naturales que no superan $375$ son primos relativos a $375$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $190$ & (B) $200$ & (C) $210$ & (D) $220$ \end{tabular} P5. Los organizadores de una olimpiada municipal de matemáticas para estudiantes de $7-8$° grado introdujeron un coeficiente de originalidad definido como el número de cifras de codificación en el número de inscripción de un participante. Para determinar a cuántos participantes invitar, necesitan calcular el número de todos los números de tres cifras posibles que pueden formarse con las cifras $1, 2, 3, 4, 5$ de modo que cada cifra se use a lo sumo una vez. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $120$ & (B) $60$ & (C) $100$ & (D) $80$ \end{tabular} P6. Timur, Dias y Sergey se preparaban para una olimpiada de matemáticas. Timur propuso el siguiente problema: «La suma de las edades de nuestros padres es $111$ . Mi padre es mayor que vuestros padres: es $1$ año mayor que el padre de Dias y $2$ años mayor que el padre de Sergey.» ¿Cuántos años tiene el padre de Timur? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $35$ & (B) $36$ & (C) $37$ & (D) $38$ \end{tabular} P7. Calcule el valor de la expresión $\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{7}}}}$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $\frac{1}{6}$ & (B) $\frac{1}{7}$ & (C) $6$ & (D) $7$ \end{tabular} P8. $p$ y $q$ son números primos distintos. ¿Cuántos divisores positivos tiene el número $p^{2} \cdot q$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $2$ & (B) $6$ & (C) $5$ & (D) $4$ \end{tabular} P9. Cierto número de dos cifras es divisible por $3$ . Si se inserta un $0$ entre sus cifras y luego se le suma el doble de la cifra de las centenas del número de tres cifras resultante, el resultado es $9$ veces el número original. Halle el número original. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $69$ & (B) $60$ & (C) $63$ & (D) $72$ \end{tabular} P10. Cuando la tercera parte de un número natural se divide entre la decimoséptima parte de ese número, el resto es $100$ . Halle el número. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $2520$ & (B) $2550$ & (C) $2050$ & (D) $2505$ \end{tabular} P11. Sobre un número natural $X$ se dan cinco afirmaciones: 1) $X$ es un número de dos cifras; 2) $X$ es divisible por $5$ ; 3) $X\leqslant14$ ; 4) $X$ es un cuadrado perfecto; 5) $X$ es impar. Se sabe que cuatro de estas afirmaciones son verdaderas y una es falsa. Halle $X$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $20$ & (B) $21$ & (C) $25$ & (D) $12$ \end{tabular} P12. ¿Cuál de los gráficos enumerados a continuación corresponde al poliedro que se muestra en la figura? [asy] size(6cm); pair[] V={(0,0), (6,0), (2,-1), (2,2), (4,-3)}; fill(V[1]--V[2]--V[3]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[4]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[3]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); fill(V[1]--V[2]--V[4]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); draw(V[0]--V[1], dashed); draw(V[0]--V[2]); draw(V[0]--V[3]); draw(V[0]--V[4]); draw(V[1]--V[2]); draw(V[1]--V[3]); draw(V[1]--V[4]); draw(V[2]--V[3]); draw(V[2]--V[4]); [/asy] $\begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i));} label("(A)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); pair P=(0,-1/4); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i)); draw(P--point(p,i));} label("(B)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(-sin(radians(30))+tan(radians(20))*sin(radians(60)))*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(q,i-1)--point(p,i)--point(q,i+1));} label("(C)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(1/2)*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(p,i)--point(q,i));} label("(D)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage}$ P13. Después de recorrer la mitad de la distancia total, un pasajero se quedó dormido y durmió hasta que la distancia restante fue igual a la mitad de la distancia que había dormido. ¿Qué fracción del viaje completo recorrió el pasajero despierto? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $\frac{3}{5}$ & (B) $\frac{3}{4}$ & (C) $\frac{2}{3}$ & (D) $\frac{1}{3}$ \end{tabular} P14. Halle el número natural más pequeño $n$ tal que $n!$ sea divisible por $13$ , $14$ , $15$ y $16$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $16$ & (B) $15$ & (C) $13$ & (D) $14$ \end{tabular} P15. Por un camino que va del bosque a la aldea, Caperucita Roja y el Lobo se apresuran uno hacia el otro, mientras que desde la dirección opuesta se acercan la Abuela y el Cazador. La velocidad de aproximación del Lobo y la Abuela es $18km/h$ , la de Caperucita Roja y la Abuela es $8km/h$ , y la del Cazador y Caperucita Roja es $12km/h$ . ¿A qué velocidad se aproximan el Lobo y el Cazador? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $26km/h$ & (B) $22km/h$ & (C) $18km/h$ & (D) $16km/h$ \end{tabular} P16. Halle el valor de la expresión $(x-7)^{(x-8)^{(x-9)^{(x+9)^{(x+8)}}}}$ cuando $x=10$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $27$ & (B) $9$ & (C) $81$ & (D) $3$ \end{tabular} P17. Un paralelepípedo rectangular con aristas de $4cm$ , $6cm$ y $9cm$ está construido con cubos de $1cm$ . Daulet y Aliya decidieron construir una torre usando todos los cubos de la capa exterior del paralelepípedo. ¿Cuál es la altura de la torre resultante? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $228cm$ & (B) $168cm$ & (C) $160cm$ & (D) $108cm$ \end{tabular} P18. Cada alienígena tiene $4$ brazos. Diez alienígenas se pusieron en fila y cada uno tomó las manos de sus vecinos. ¿Cuántos brazos quedaron libres? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $20$ & (B) $22$ & (C) $32$ & (D) $30$ \end{tabular} P19. ¿Cuántas veces aumenta un número de tres cifras si se le añade el mismo número a su derecha? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $10$ & (B) $101$ & (C) $1000$ & (D) $1001$ \end{tabular} P20. ¿Cuántos cubos apilados uno sobre otro forman la torre que se muestra en la figura? [asy] size(8cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<5; ++i){ for(int j=0; j<2; ++j){ draw(shift(i,j)*unitsquare);}} draw(shift(1,2)*unitsquare); draw(shift(3,2)*unitsquare); for(int i=0; i<3; ++i){ for(int j=0; j<2; ++j){ draw(shift(i+7,j)*unitsquare);}} draw(shift(8,2)*unitsquare); label("Front view", (0,0)--(5,0)); label("Side view", (7,0)--(10,0)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $26$ & (B) $14$ & (C) $32$ & (D) $36$ \end{tabular} P21. Las habitaciones interiores del Sultán consisten en $100$ habitaciones cuadradas idénticas dispuestas en un cuadrado de $10\times10$ . Si dos habitaciones comparten una pared, hay exactamente una puerta en esa pared. ¿Cuántas puertas hay en el palacio? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $150$ & (B) $120$ & (C) $200$ & (D) $180$ \end{tabular} P22. En las caras de un cubo están escritas letras, como se muestra en la Figura 1. Neznaika lanzó el cubo y este cayó como se muestra en la Figura 2. ¿Qué letras están en las caras en blanco del cubo? [asy] import graph3; size(6cm); currentprojection=perspective(8,4,4); triple[] V={(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1)}; void face(path3 p, real angle=0, string s="", transform3 align=rotate(0,X)*rotate(0,Y)*rotate(0,Z), bool mirror=false) { draw(rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*p); label((mirror?shift(0,1,0)*scale(1,-1,1):shift(0,0,0))*rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*align*s, rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*((point(p,0)+point(p,1)+point(p,2)+point(p,3))/4), fontsize(32));} face(V[1]--V[5]--V[4]--V[0]--cycle, 45, "$V$", rotate(90,Y)*rotate(90,X)*rotate(90,Z)); face(V[1]--V[5]--V[6]--V[2]--cycle, "$I$", rotate(90,Y)*rotate(90,Z)); face(V[4]--V[5]--V[6]--V[7]--cycle, "$C$", rotate(90,X)*rotate(90,Z)*rotate(90,Y)); face(V[2]--V[3]--V[7]--V[6]--cycle, "$T$", rotate(90,Z)*rotate(90,X)*rotate(90,Y)); face(V[4]--V[7]--V[3]--V[0]--cycle, 100, "$O$", rotate(180,X)*rotate(90,Y)*rotate(90,Z), mirror=true); face(V[1]--V[2]--V[3]--V[0]--cycle, 180, "$R$", rotate(270,X)*rotate(90,Z)*rotate(90,Y)*rotate(180,X), mirror=true); draw(shift(0,2,0)*(V[4]--V[5]--V[6]--V[7]--cycle)); face(shift(0,2,0)*(V[1]--V[5]--V[6]--V[2]--cycle), "$R$", rotate(90,Y)*rotate(90,Z)); draw(shift(0,2,0)*(V[2]--V[3]--V[7]--V[6]--cycle)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) Top: $I$, Right: $B$ & (B) Top: $K$, Right: $T$ & (C) Top: $O$, Right: $B$ & (D) Top: $I$, Right: $T$ \end{tabular} P23. Halle dos números cuya diferencia y cuyo cociente sean ambos iguales a $11$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $12.1$ and $1.1$ & (B) $11.1$ and $0.1$ & (C) $13.1$ and $2.1$ & (D) $11.1$ and $1.1$ \end{tabular} P24. En $\triangle ABC$ , $\angle A=60^{\circ}$ . Halle el ángulo entre las bisectrices interiores de los ángulos $B$ y $C$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $100^{\circ}$ & (B) $110^{\circ}$ & (C) $120^{\circ}$ & (D) $140^{\circ}$ \end{tabular} P25. En una clase, dos estudiantes se sientan en cada pupitre. El número de pupitres con dos niños es el doble del número de pupitres con dos niñas. El número de pupitres con dos niñas es el doble del número de pupitres con un niño y una niña. ¿Cuántos niños hay en la clase si hay $10$ niñas? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $14$ & (B) $15$ & (C) $16$ & (D) $18$ \end{tabular} P26. En la pizarra está escrito un número natural. Yerbulat notó que hay dos maneras de añadir una cifra a su derecha para que el número resultante sea divisible por $9$ . ¿De cuántas maneras puede añadir una cifra a la derecha para que el número resultante sea divisible por $3$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $4$ & (B) $5$ & (C) $3$ & (D) $2$ \end{tabular} P27. Zhanel pensó en un número de dos cifras. Luego añadió la cifra $1$ a su izquierda y la cifra $8$ a su derecha, y el número se hizo $28$ veces mayor. ¿Qué número pudo haber elegido Zhanel? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $45$ & (B) $56$ & (C) $28$ & (D) $36$ \end{tabular} P28. Un reloj marca $1$ hora $25$ minutos. ¿Cuál es el ángulo entre las manecillas horaria y minutera? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $105.5^{\circ}$ & (B) $107.5^{\circ}$ & (C) $110.5^{\circ}$ & (D) $140.5^{\circ}$ \end{tabular} P29. Una bolsa contenía tarjetas numeradas del $1$ al $20$ . Arman sacó $6$ tarjetas y afirmó que podían emparejarse de modo que las sumas de los números de cada par fueran iguales. Kira logró ver cinco de las tarjetas: $2, 4, 9, 17, 19$ . ¿Qué número estaba en la tarjeta que no vio? (Basta con dar una respuesta posible.) \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $16$ & (B) $18$ & (C) $12$ & (D) $6$ \end{tabular} P30. Asel, Bulat, Vika y Timur estuvieron de turno en la escuela durante $20$ días. Cada día estuvieron de turno exactamente tres de ellos. Asel estuvo de turno $15$ veces, Bulat $14$ veces y Vika $18$ veces. ¿Cuántas veces estuvo de turno Timur? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $14$ & (B) $15$ & (C) $13$ & (D) $12$ \end{tabular}