. En un país hay $15$ ciudades. Algunos pares de ciudades están conectados por rutas aéreas pertenecientes a tres aerolíneas diferentes. Se sabe que incluso si una de las aerolíneas dejara de operar, todavía sería posible viajar de cualquier ciudad a cualquier otra (posiblemente con transbordos) usando solo las rutas de las dos aerolíneas restantes. ¿Cuál es el número mínimo posible de rutas aéreas en el país? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $19$ & (B) $20$ & (C) $21$ & (D) $22$ & (E) $25$ \end{tabular} P2. Hay $28$ estudiantes en una clase. Cada niña es amiga de $4$ niños, y cada niño es amigo de $3$ niñas. ¿Cuántos niños y cuántas niñas hay en la clase? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $16$ and $12$ & (B) $20$ and $8$ & (C) $15$ and $12$ & (D) $20$ and $16$ & (E) $26$ and $14$ \end{tabular} P3. Una tienda vende tres tipos de barras de chocolate: «Alyonka», «Pierre Markolini» y «Noka Vintages Collection». Erlan se pregunta: ¿de cuántas maneras puede comprar $9$ barras de chocolate? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $50$ & (B) $52$ & (C) $55$ & (D) $105$ & (E) $125$ \end{tabular} P4. La ecuación $x(x-1)(x-2)\cdots2\cdot1=y^{2}-12$ tiene una solución en números naturales. ¿Cuál de los siguientes pares es una solución? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $(5,7)$ & (B) $(4,6)$ & (C) $(3,5)$ & (D) $(2,4)$ & (E) $(6,8)$ \end{tabular} P5. Halle el resto de dividir $1532^{5}-1$ entre $9$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $1$ & (B) $2$ & (C) $3$ & (D) $4$ & (E) $5$ \end{tabular} P6. Un número de cinco cifras que es un cuadrado perfecto se escribe usando las cifras $0, 1, 2, 2, 2$ . Halle el número. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $22210$ & (B) $22201$ & (C) $22021$ & (D) $20221$ \end{tabular} P7. La parte entera de un número $x$ se denota por $[x]$ . Por ejemplo, si $x=2.17$ , entonces $[x]=2$ . Resuelva la desigualdad $[x+2.6]=-7$ . \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $-9 \leqslant x<-8$ & (B) $-9.6 \leqslant x<-4.4$ & (C) $-9.6 \leqslant x<-8.6$ & (D) $-9.2 \leqslant x<-8.4$ \end{tabular} P8. El porcentaje de niñas en un club de matemáticas es menor que $50\%$ pero mayor que $40\%$ . ¿Cuál es el número más pequeño posible de estudiantes en el club? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $5$ & (B) $6$ & (C) $10$ & (D) $7$ \end{tabular} P9. Arman escribió $5$ enteros en la pizarra. Sumándolos por pares, obtuvo los siguientes $10$ números: $0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15$ . ¿Cuál es el número más grande que Arman escribió en la pizarra? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $12$ & (B) $10$ & (C) $15$ & (D) $13$ \end{tabular} P10. Para determinar si el número $1601$ es primo, se probó sucesivamente su divisibilidad por $2, 3, 5,$ , y así sucesivamente. ¿En qué número primo se puede detener la prueba? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $31$ & (B) $37$ & (C) $41$ & (D) $43$ \end{tabular} P11. Una fuente en la plaza de la ciudad está conectada al reloj de la torre. Funciona siempre que al menos una de las manecillas del reloj esté entre los números $3$ y $4$ , o entre los números $8$ y $9$ . ¿Durante cuánto tiempo en un período de $24$ horas funciona la fuente? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $4h20min$ & (B) $6h20min$ & (C) $7h20min$ & (D) $5h30min$ \end{tabular} P12. Azhar, Asel, Lena y Kamila tocan cada una un instrumento musical (piano, violonchelo, guitarra, violín), y cada una sabe exactamente un idioma extranjero (inglés, francés, alemán o chino). Se sabe que la niña que toca la guitarra habla chino. Asel no toca el violín ni el violonchelo y no sabe inglés. Azhar no toca el violín ni el violonchelo y no sabe alemán ni inglés. La niña que habla alemán no toca el violonchelo. Lena sabe francés pero no toca el violín. ¿Qué instrumento toca Kamila y qué idioma sabe? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) Violin and English & (B) Violin and French & (C) Guitar and English & (D) Piano and Chinese \end{tabular} P13. ¿Cuál de los gráficos enumerados a continuación corresponde al poliedro que se muestra en la figura? [asy] size(6cm); pair[] V={(0,0), (6,0), (2,-1), (2,4), (4,-3), (3,1)}; fill(V[1]--V[2]--V[3]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[4]--cycle, gray+opacity(0.5)); fill(V[0]--V[2]--V[3]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); fill(V[1]--V[2]--V[4]--cycle, lightgray+opacity(0.5)); draw(V[5]--V[0], dashed); draw(V[5]--V[1], dashed); draw(V[5]--V[3], dashed); draw(V[5]--V[4], dashed); draw(V[0]--V[2]); draw(V[0]--V[3]); draw(V[0]--V[4]); draw(V[1]--V[2]); draw(V[1]--V[3]); draw(V[1]--V[4]); draw(V[2]--V[3]); draw(V[2]--V[4]); [/asy] $\begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i));} label("(A)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3); pair P=(0,-1/4); draw(p); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(origin--point(p,i)); draw(P--point(p,i));} label("(B)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(-sin(radians(30))+tan(radians(20))*sin(radians(60)))*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(q,i-1)--point(p,i)--point(q,i+1));} label("(C)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(3cm); path p=polygon(3), q=scale(1/2)*p; draw(p); draw(q); for(int i=0; i<3; ++i){ draw(point(p,i)--point(q,i));} label("(D)", point(p,2)--point(p,3)); [/asy] \end{minipage}$ P14. Distribuya ocho cabras jóvenes y nueve gansos en cinco graneros de modo que cada granero contenga cabras y gansos, y el número total de patas en cada granero sea $10$ . \begin{tabular}{c} (A) In two barns: $1$ goat and $3$ geese each; in three barns: $2$ goats and $1$ goose each; \\ (B) In two barns: $2$ goats and $2$ geese each; in three barns: $1$ goat and $2$ geese each; \\ (C) In two barns: $1$ goat and $4$ geese each; in three barns: $2$ goats and $1$ goose each; \\ (D) In two barns: $2$ goats and $1$ goose each; in three barns: $1$ goat and $2$ geese each; \end{tabular} P15. Un viajero visitó una aldea donde cada habitante o siempre dice la verdad o siempre miente. Todos los aldeanos se pusieron en círculo, y cada uno dijo sobre su vecino de la derecha si ese vecino decía la verdad. Con base en estas afirmaciones, el viajero pudo determinar de manera única qué fracción de los aldeanos son mentirosos. ¿Qué fracción es? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $60\%$ & (B) $55\%$ & (C) $50\%$ & (D) $45\%$ \end{tabular} P16. Un cuadrado se divide mediante rectas en $25$ cuadrados pequeños iguales (una cuadrícula de $5\times5$ ). En algunos de los cuadrados pequeños se traza una diagonal de modo que no haya dos diagonales trazadas que compartan un punto común (ni siquiera un extremo). ¿Cuál es el número máximo posible de diagonales trazadas? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $16$ & (B) $17$ & (C) $18$ & (D) $15$ \end{tabular} P17. Para cada número de tres cifras, tome el producto de sus cifras. Luego sume todos estos productos sobre todos los números de tres cifras. ¿Cuál es la suma resultante? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $91125$ & (B) $90125$ & (C) $2025$ & (D) $18225$ \end{tabular} P18. En una tira de $1 \times N$ , las primeras $25$ casillas contienen $25$ fichas. Una ficha puede moverse una casilla a la derecha hacia una casilla vacía, o saltar sobre una ficha adyacente a la derecha hacia la casilla siguiente (si esa casilla está vacía). No se permite moverse hacia la izquierda. ¿Para cuál $N$ más pequeño es posible reordenar las fichas, sin huecos, en el orden inverso? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $45$ & (B) $50$ & (C) $51$ & (D) $49$ \end{tabular} P19. El número $7$ se eleva a la $19$° potencia. El número resultante se eleva nuevamente a la $19$° potencia, y así sucesivamente. Este proceso se repite $2020$ veces. Determine la última cifra del número final. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $7$ & (B) $9$ & (C) $3$ & (D) $1$ \end{tabular} P20. Un rectángulo está compuesto por seis cuadrados, como se muestra en la figura. Halle la longitud del lado del cuadrado más grande si la longitud del lado del cuadrado más pequeño es $1$ . [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); draw(scale(4)*unitsquare); draw(shift(4,0)*scale(4)*unitsquare); draw(shift(8,0)*scale(5)*unitsquare); draw(shift(0,4)*scale(7)*unitsquare); draw(shift(7,4)*unitsquare); draw(shift(7,5)*scale(6)*unitsquare); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $5$ & (B) $6$ & (C) $8$ & (D) $7$ \end{tabular} P21. Una solución de $100g$ contiene $1\%$ de sal. Después de la evaporación, la solución queda con $2\%$ de sal. ¿Cuál es la masa de la solución resultante? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $45g$ & (B) $50g$ & (C) $60g$ & (D) $55g$ \end{tabular} P22. En $\triangle KNM: \angle N=90^{\circ}, \angle M=35^{\circ}, \angle PKS=10^{\circ}, \angle SNP=20^{\circ}$ . Halle $\angle PSM$ . [asy] import geometry; size(6cm); pair N=(0,0), M=(1,0), K=intersectionpoint(line(M,rotate(-35,M)*N),line(N,(0,1))), S=intersectionpoint(line(N,rotate(20,N)*M),line(K,M)), P=intersectionpoint(line(K,rotate(-10,K)*S),line(N,M)), I=incenter(K, N, M); draw(K--N--M--cycle); draw(K--P); draw(N--S); draw(P--S); dot("$K$", K, dir(I--K)); dot("$N$", N, dir(I--N)); dot("$M$", M, dir(I--M)); dot("$P$", P, dir(K--P)); dot("$S$", S, dir(N--S)); markrightangle(M, N, K); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $40^{\circ}$ & (B) $45^{\circ}$ & (C) $60^{\circ}$ & (D) $55^{\circ}$ \end{tabular} P23. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la ecuación $|y| \cdot y=\frac{|x|}{x}$ ? $\begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((-14,5)--(0,5)); draw((-14,-5)--(0,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(A)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((-14,5)--(0,5)); draw((0,-5)--(14,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(B)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((0,5)--(14,5)); draw((0,-5)--(14,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(C)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage} \begin{minipage}{0.2\linewidth} [asy] size(4cm); void coordinates(int x1, int x2, int y1, int y2){ for(int i=x1+1; i<x2; ++i){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((i,y1)--(i,y2), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (i,0), SW);}} for(int i=y1+1; i<y2; ++i){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.1bp)); if(i%5==0){ draw((x1,i)--(x2,i), linewidth(0.25bp)); label(string(i/5), (0,i), SW);}} draw((x1,0)--(x2,0), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); draw((0,y1)--(0,y2), linewidth(0.75bp), arrow=Arrow); label("\(x\)", (x2,0), SW); label("\(y\)", (0,y2), SW);} coordinates(-14, 14, -14, 14); draw((0,5)--(14,5)); draw((-14,-5)--(0,-5)); dot((0,5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); dot((0,-5), filltype=FillDraw(fillpen=white)); label("(D)", (-14,-14)--(14,-14)); [/asy] \end{minipage}$ P24. Un archipiélago consta de varias islas pequeñas y una isla grande. Se decidió construir puentes de modo que la isla grande esté conectada con cada isla pequeña por dos puentes, y cada par de islas pequeñas esté conectado por exactamente un puente. Para el 1 de noviembre se habían construido todos los puentes entre las islas pequeñas y varios (al menos uno) puentes hacia la isla grande — un total de $28$ puentes. ¿Cuántas islas hay en el archipiélago? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $9$ & (B) $5$ & (C) $7$ & (D) $8$ \end{tabular} P25. Halle el mayor número de fichas de dominó blancas que pueden cortarse del tablero que se muestra en la figura. Una ficha de dominó es un rectángulo de $1\times2$ . [asy] unitsize(0.5cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<7; ++i){ for(int j=0; j<7; ++j){ if(i%2==1 && j%2==1){ filldraw(shift(i,j)*unitsquare, black);} else{ draw(shift(i,j)*unitsquare);}}} [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $14$ & (B) $15$ & (C) $16$ & (D) $18$ \end{tabular} P26. ¿Cuál es el ángulo entre las manecillas horaria y minutera de un reloj a las $9{:}10$ ? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $140^{\circ}$ & (B) $145^{\circ}$ & (C) $150^{\circ}$ & (D) $155^{\circ}$ \end{tabular} P27. $11$ números se escriben en fila de modo que la suma de cualesquiera tres números consecutivos sea $18$ . La suma de los once números es $64$ . Halle el número del medio. \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $24$ & (B) $12$ & (C) $16$ & (D) $8$ \end{tabular} P28. Durante una clase de educación física, todos los estudiantes se alinearon por estatura (todas las estaturas son distintas). Damir notó que el número de estudiantes más altos que él es cuatro veces el número de estudiantes más bajos que él. Erlan notó que el número de estudiantes más altos que él es tres veces menor que el número de estudiantes más bajos que él. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase, si no hay más de $30$ estudiantes? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $24$ & (B) $20$ & (C) $21$ & (D) $27$ \end{tabular} P29. Una cara de un dado tiene un punto, otra tiene dos, una tercera tiene tres, y así sucesivamente. Cuatro dados idénticos se disponen como se muestra en la figura. ¿Cuál es el número total de puntos en las seis caras donde los dados se tocan entre sí? [asy] import graph3; size(6cm); currentprojection=perspective(8,7,4); path3[] dots={circle((2,8,0),1), circle((5,8,0),1), circle((8,8,0),1), circle((2,5,0),1), circle((5,5,0),1), circle((8,5,0),1), circle((2,2,0),1), circle((5,2,0),1), circle((8,2,0),1)}; dots=scale(0.1,0.1,1)*dots; path3[] face(int i){ if(i==1){ return new path3[] {dots[4]};} if(i==2){ return new path3[] {dots[0], dots[8]};} if(i==3){ return new path3[] {dots[0], dots[4], dots[8]};} if(i==4){ return new path3[] {dots[0], dots[2], dots[6], dots[8]};} if(i==5){ return new path3[] {dots[0], dots[2], dots[4], dots[6], dots[8]};} if(i==6){ return new path3[] {dots[0], dots[2], dots[3], dots[5], dots[6], dots[8]};} return new path3[] {};} void cube(triple P, int f, int t, int r=0, bool mirror=false){ draw(surface(shift(P)*((1,0,0)--(1,1,0)--(1,1,1)--(1,0,1)--cycle)), white, black); draw(surface(shift(P)*((0,0,1)--(1,0,1)--(1,1,1)--(0,1,1)--cycle)), white, black); draw(surface(shift(P)*((1,1,0)--(0,1,0)--(0,1,1)--(1,1,1)--cycle)), white, black); for(path3 p : face(f)){ draw(surface(shift(P)*rotate(90,(1,0,0),(1,1,0))*p), black);} for(path3 p : face(t)){ draw(surface(shift(P)*shift(0,0,1)*(mirror?shift(0,1,0)*scale(1,-1,1):shift(0,0,0))*p), black);} for(path3 p : face(r)){ draw(surface(shift(P)*rotate(90,(1,1,0),(0,1,0))*p), black);}} cube((0,0,0), 1, 2, true); cube((0,1,0), 2, 3, true); cube((0,2,0), 3, 4); cube((0,3,0), 3, 1, 6); [/asy] \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $40$ & (B) $20$ & (C) $24$ & (D) $36$ \end{tabular} P30. Denis eligió cuatro números naturales distintos. Afirma que el producto del número más pequeño y el más grande es $32$ , y el producto de los otros dos números es $14$ . ¿Cuál es la suma de los cuatro números? \begin{tabular}{p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}p{0.55\linewidth}} (A) $42$ & (B) $40$ & (C) $35$ & (D) $45$ \end{tabular}