6 La circunferencia $O_1$ es tangente a $AC$ , $BC$ ( lados del triángulo $ABC$ ) en los puntos $D, E$ . La circunferencia $O_2$ contiene a $O_1$ y es tangente a $BC$ , $AB$ ( lados del triángulo $ABC$ ) en los puntos $E, F$ . La tangente a $O_2$ en $P(DE \cap O_2, P \neq E)$ corta a $AB$ en $Q$ . Una recta que pasa por $O_1$ ( centro de $O_1$ ) y es paralela a $BO_2$ ( $O_2$ es también el centro de $O_2$ ) corta a $BC$ en $G$ , $EQ \cap AC=K, KG \cap EF=L$ , $EO_2$ corta a la circunferencia $O_2$ en $N(\neq E)$ , $LO_2 \cap FN=M$ . Si $N$ es el punto medio de $FM$ , demuestre que $BG=2EG$