18:I[96096,["/_next/static/chunks/c6db19d9c5fa184a.js","/_next/static/chunks/bfe171a9b29c6141.js","/_next/static/chunks/215a462e6e3d5704.js","/_next/static/chunks/8e5a4ef2cd34cd2e.js","/_next/static/chunks/7f58f759df62ad2a.js","/_next/static/chunks/3d80c91f0baaa7e1.js","/_next/static/chunks/69017dabd5a7bdb1.js","/_next/static/chunks/16e35d7ca69704d5.js","/_next/static/chunks/1e99a352826083c0.js","/_next/static/chunks/d500812f89b1de2c.js","/_next/static/chunks/276dde09bcd6a58a.js","/_next/static/chunks/05f60f5d8542f370.js","/_next/static/chunks/a3977a4b8be0f95f.js"],"Recent"] 19:T41e,Dibujemos el círculo de radio $1$. Luego, elige el ángulo $\theta$ entre $0$ y $\pi$ que separa dos puntos sobre la circunferencia del círculo. Después, traza un segmento entre estos dos puntos, que será un lado del cuadrado. Luego traza el resto del cuadrado hacia afuera del disco circular. Entonces verás que la longitud del lado de ese cuadrado es $2\sin(\theta/2)$. La distancia al cuadrado entre uno de los puntos del cuadrado que está fuera del círculo y el centro del círculo es $(2\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2))^2+\sin^2(\theta/2)$ $=4\sin^2(\theta/2)+4\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)+\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)$ $=2(1-\cos(\theta))+2\sin(\theta)+1$ $=3-2(\cos(\theta)-\sin(\theta))$ $=3-2\sqrt{2}(\cos(\pi/4)\cos(\theta)-\sin(\pi/4)\sin(\theta))$ $=3-2\sqrt{2}\cos(\theta+\pi/4)$. Y así, $M^2=3+2\sqrt{2}$ con $\theta=3\pi/4$. Y $M=1+\sqrt{2}$. Entonces, ahora que b) está resuelto, es fácil probar a). Sabemos que $1<\sqrt{2}<2$, así que $3+2(1)<3+2\sqrt{2}<3+2(2)$ y entonces, $5\sqrt{5}$ , concluimos que $M=1+\sqrt{2}$ . Entonces es claro que $\sqrt{5}

Olimpiada Nacional de Lituania 2007 Problema 3

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