a) Notemos que, como $ABCD$ está inscrito en una circunferencia con centro $O$, los triángulos $AOB$ y $COD$ son isósceles con lados iguales al radio $R$ de la circunferencia. Además, como las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares, el ángulo central $\angle AOB$ y el ángulo central $\angle COD$ son suplementarios (suman $180^\circ$), porque los arcos correspondientes a cuerdas perpendiculares se complementan. El área de un triángulo con dos lados iguales $R$ y ángulo entre ellos $\theta$ es $\frac{1}{2}R^2 \sin\theta$. Como $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$, se sigue que \[ [ AOB ] = \frac{1}{2}R^2 \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}R^2 \sin(\angle COD) = [COD]. \] Por lo tanto, los triángulos $AOB$ y $COD$ tienen áreas iguales. b) Para hallar el área de la región sombreada, primero calculamos el área de los cuatro semicírculos construidos sobre los lados del cuadrilátero y luego restamos el área del cuadrilátero. El área total de los semicírculos es \[ \frac{\pi}{2} \left( \frac{AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2}{4} \right) = \frac{\pi}{8}(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2). \] Por el teorema de Pitágoras aplicado a las diagonales perpendiculares, se tiene que \[ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2. \] Esto se debe a que, si las diagonales se cortan en $P$, entonces \[ AB^2 = AP^2 + BP^2,\quad BC^2 = BP^2 + CP^2,\quad CD^2 = CP^2 + DP^2,\quad DA^2 = DP^2 + AP^2, \] y sumando se obtiene $2(AP^2 + BP^2 + CP^2 + DP^2) = AC^2 + BD^2$ (ya que $AC = AP + PC$ y $BD = BP + PD$). Entonces, \[ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100. \] Por lo tanto, el área de los cuatro semicírculos es \[ \frac{\pi}{8} \cdot 100 = \frac{25\pi}{2}. \] El área del cuadrilátero $ABCD$ con diagonales perpendiculares es \[ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24. \] La región sombreada es la suma de los semicírculos menos el área del cuadrilátero (ya que los semicírculos se construyen externamente y la parte que queda dentro del cuadrilátero se superpone con él). Así, \[ \text{Área sombreada} = \frac{25\pi}{2} - 24. \] Por lo tanto, el área de la región sombreada es \[ \boxed{\frac{25\pi}{2} - 24 \text{ cm}^2}. \]