Sea $\triangle ABC$ un triángulo con lados de longitudes $a,b,c$, incentro $I$, y circunradio $R$. Denota por $P$ el área de $\triangle ABC$, y sean $P_1,\;P_2,\;P_3$ las áreas de los triángulos $\triangle ABI$, $\triangle BCI$, y $\triangle CAI$, respectivamente. Demuestra que \[ \frac{abc}{12R} \;\le\; \frac{P_1^2 + P_2^2 + P_3^2}{P} \;\le\; \frac{3R^3}{4\sqrt[3]{abc}}. \]