1–10 1. Si $x^3 - x + 1 = a_0 + a_1(x-2) + a_2(x-2)^2 + a_3(x-2)^3$ , entonces $(a_0,a_1,a_2,a_3)$ es igual a $\textbf{(A)}\; (1,-1,0,1) \quad \textbf{(B)}\; (7,6,10,1) \quad \textbf{(C)}\; (7,11,12,6) \quad \textbf{(D)}\; (7,11,6,1).$ 2. Suponga que $f(x)$ y $g(x)$ son funciones diferenciables con valores reales tales que $f'(x) \ge g'(x)$ para todo $x$ en $[0,1]$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? $\textbf{(A)}\; f(1) \ge g(1) \quad \textbf{(B)}\; f-g \text{ has no maximum on } [0,1]$ $\textbf{(C)}\; f(1)-g(1) \ge f(0)-g(0) \quad \textbf{(D)}\; f+g \text{ is a non-decreasing function on } [0,1].$ 3. La ecuación $x^4 + x^2 - 1 = 0$ tiene $\textbf{(A)}\; \text{two positive and two negative roots} \quad \textbf{(B)}\; \text{all positive roots}$ $\textbf{(C)}\; \text{one positive, one negative and two non-real roots} \quad \textbf{(D)}\; \text{no real root}.$ 4. Sea $n$ un número natural. Sean $A$ y $B$ matrices de $n \times n$ . Si $A$ es invertible, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? $\textbf{(A)}\; \operatorname{rank}(AB) < \operatorname{rank}(B) \quad \textbf{(B)}\; \operatorname{rank}(AB) > \operatorname{rank}(B)$ $\textbf{(C)}\; \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B) \quad \textbf{(D)}\; \operatorname{rank}(AB) < \operatorname{rank}(A).$ 5. Sea $X$ un conjunto y sean $A,B,C$ sus subconjuntos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? $\textbf{(A)}\; A-(A-B)=B \quad \textbf{(B)}\; A-(B\cap C)=(A-B)\cap(A-C)$ $\textbf{(C)}\; A-(B\cup C)=(A-B)\cup(A-C) \quad \textbf{(D)}\; B-(A-B)=B.$ 6. Para un número real $x$ , sea $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$ . Para un número natural $n$ , sea $a_n=\left[\dfrac{n\sqrt{2}}{n}\right]$ . El límite $\lim_{n\to\infty} a_n$ $\textbf{(A)}\; \text{equals }0 \quad \textbf{(B)}\; \text{equals }[\sqrt{2}] \quad \textbf{(C)}\; \text{equals }\sqrt{2} \quad \textbf{(D)}\; \text{does not exist}.$ 7. Sea $M$ un número natural de dos cifras. Sea $N$ el número natural cuyas cifras son las de $M$ pero en orden inverso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones \emph{no puede} ser la suma de $M$ y $N$ ? $\textbf{(A)}\; 181 \quad \textbf{(B)}\; 165 \quad \textbf{(C)}\; 121 \quad \textbf{(D)}\; 154.$ 8. El valor de $\displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\int_1^x e^{t^2}\,dt}{x^2-1}$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; e \quad \textbf{(D)}\; \frac{e}{2}.$ 9. Sea $n$ cualquier entero positivo y $1 \le x_1 < x_2 < \cdots < x_{n+1} \le 2n$ , donde cada $x_i$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? (I) Existe un $i$ tal que $x_i$ es un cuadrado de un entero. (II) Existe un $i$ tal que $x_{i+1}=x_i+1$ . (III) Existe un $i$ tal que $x_i$ es primo. $\textbf{(A)}\; \text{I only} \quad \textbf{(B)}\; \text{II only} \quad \textbf{(C)}\; \text{I and II only} \quad \textbf{(D)}\; \text{II and III only}.$ 10. Dos números reales $x$ y $y$ se eligen uniformemente al azar del intervalo $[0,1]$ . Halle la probabilidad de que $2x>y$ . $\textbf{(A)}\; \frac14 \quad \textbf{(B)}\; \frac12 \quad \textbf{(C)}\; \frac23 \quad \textbf{(D)}\; \frac34.$