2 Suponga que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función no constante que satisface $f(x+y) = f(x)f(y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ . Demuestre que: $f(x) \neq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ; $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ ; si $f$ es diferenciable en $0$ , entonces $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y existe un número real $\beta$ tal que $f(x) = \beta^x$ para todo $x \in \mathbb{R}$ .