1–10 1. Sea $A$ un subconjunto no vacío de números reales y sea $f : A \to A$ una función tal que $f(f(x)) = x$ para todo $x \in A$ . Entonces $f(x)$ es $\textbf{A)}$ una biyección $\quad \textbf{B)}$ inyectiva pero no sobreyectiva $\textbf{C)}$ sobreyectiva pero no inyectiva $\quad \textbf{D)}$ ni inyectiva ni sobreyectiva. 2. Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función que satisface $f(x+y) = f(xy)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$ y $f(3/4) = 3/4$ , entonces $f(9/16) =$ $\textbf{A)}\; 9/16 \quad \textbf{B)}\; 0 \quad \textbf{C)}\; 3/2 \quad \textbf{D)}\; 3/4.$ 3. El área encerrada entre las curvas $y = \sin^2 x$ y $y = \cos^2 x$ en el intervalo $0 \le x \le \pi/2$ es $\textbf{A)}\; 2 \quad \textbf{B)}\; 1/2 \quad \textbf{C)}\; 1 \quad \textbf{D)}\; 3/4.$ 4. El número de pares ordenados $(m, n)$ de enteros que satisfacen $\dfrac{m}{12} = \dfrac{12}{n}$ es $\textbf{A)}\; 15 \quad \textbf{B)}\; 30 \quad \textbf{C)}\; 12 \quad \textbf{D)}\; 10.$ 5. Suponga que $2 \log x + \log y = x - y$ . Entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esta ecuación en el punto $(1, 1)$ es $\textbf{A)}\; x + 2y = 3 \quad \textbf{B)}\; x - 2y = 3 \quad \textbf{C)}\; 2x + y = 3 \quad \textbf{D)}\; 2x - y = 3.$ 6. Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como $f(x) = \sin[x]$ , donde $[x]$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ . Entonces $\textbf{A)}\; f$ es una función $2\pi$ -periódica $\quad \textbf{B)}\; f$ es una función $\pi$ -periódica $\textbf{C)}\; f$ es una función 1-periódica $\quad \textbf{D)}\; f$ no es una función periódica. 7. ¿Para cuántos enteros $a$ con $1 \le a \le 100$ , $a^a$ es un cuadrado? $\textbf{A)}\; 50 \quad \textbf{B)}\; 51 \quad \textbf{C)}\; 55 \quad \textbf{D)}\; 56.$ 8. $\lim_{x \to 0} x \left[ \dfrac{1}{x} \right]$ $\textbf{A)}\; 0 \quad \textbf{B)}\; 1 \quad \textbf{C)}\; -1 \quad \textbf{D)}$ no existe. 9. Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de $x^2 + 3x + 1$ , entonces $\left( \dfrac{\alpha}{\beta + 1} \right)^2 + \left( \dfrac{\beta}{\alpha + 1} \right)^2$ es igual a $\textbf{A)}\; 19 \quad \textbf{B)}\; 18 \quad \textbf{C)}\; 20 \quad \textbf{D)}\; 17.$ 10. La ecuación $z^3 + iz - 1 = 0$ tiene $\textbf{A)}$ ninguna raíz real $\quad \textbf{B)}$ exactamente una raíz real $\textbf{C)}$ tres raíces reales $\quad \textbf{D)}$ exactamente dos raíces reales.