1–10 1. El número $\sqrt{2}e^{i\pi}$ es: $\textbf{A)}$ un número racional. $\textbf{B)}$ un número irracional. $\textbf{C)}$ un número imaginario puro. $\textbf{D)}$ un número complejo del tipo $a + ib$ donde $a, b$ son números reales no nulos. 2. Sea $P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . El rango de $P^4$ es: $\textbf{A)}\; 1 \quad \textbf{B)}\; 2 \quad \textbf{C)}\; 3 \quad \textbf{D)}\; 4.$ 3. Sean $y_1(x)$ y $y_2(x)$ las soluciones de la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} = y + 17$ con condiciones iniciales $y_1(0) = 0, y_2(0) = 1$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? $\textbf{A)}\; y_1$ y $y_2$ nunca se intersecan. $\textbf{B)}\; y_1$ y $y_2$ se intersecan en $x = e$ . $\textbf{C)}\; y_1$ y $y_2$ se intersecan en $x = 17$ . $\textbf{D)}\; y_1$ y $y_2$ se intersecan en $x = 1$ . 4. Suponga que $f$ y $g$ son funciones diferenciables y $h(x) = f(x)g(x)$ . Sean $h(1) = 24$ , $g(1) = 6$ , $f'(1) = -2$ , $h'(1) = 20$ . Entonces el valor de $g'(1)$ es $\textbf{A)}\; 8 \quad \textbf{B)}\; 4 \quad \textbf{C)}\; 2 \quad \textbf{D)}\; 16.$ 5. ¿En cuántas regiones queda dividido el plano al graficar las siguientes ecuaciones, sin considerar los ejes? $y = x^2, \quad y = 2^x$ $\textbf{A)}\; 3 \quad \textbf{B)}\; 4 \quad \textbf{C)}\; 5 \quad \textbf{D)}\; 6.$ 6. Para $0 \le x < 2\pi$ , el número de soluciones de la ecuación $\sin^2 x + 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$ es $\textbf{A)}\; 1 \quad \textbf{B)}\; 2 \quad \textbf{C)}\; 3 \quad \textbf{D)}\; 4.$ 7. El valor mínimo de la función $f(x) = x^x, \quad x \in (0, \infty)$ es $\textbf{A)}\; \left(\dfrac{1}{10}\right)^{\frac{1}{10}} \quad \textbf{B)}\; 10^{\frac{1}{10}} \quad \textbf{C)}\; \dfrac{1}{e} \quad \textbf{D)}\; \left(\dfrac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}.$ 8. Sea $f$ una función dos veces diferenciable en $\mathbb{R}$ . Además $f''(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? $\textbf{A)}\; f(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones en $\mathbb{R}$ . $\textbf{B)}\; f(x) = 0$ tiene una solución positiva si $f(0) = 0$ y $f'(0) = 0$ . $\textbf{C)}\; f(x) = 0$ no tiene solución positiva si $f(0) = 0$ y $f'(0) > 0$ . $\textbf{D)}\; f(x) = 0$ no tiene solución positiva si $f(0) = 0$ y $f'(0) < 0$ . 9. Si $x^2 + x + 1 = 0$ , entonces el valor de $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 + \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 + \dots + \left(x^{27} + \dfrac{1}{x^{27}}\right)^2$ es $\textbf{A)}\; 27 \quad \textbf{B)}\; 54 \quad \textbf{C)}\; 0 \quad \textbf{D)}\; -27.$ 10. Sea $M = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ . Entonces $M^{2017} = $ $\textbf{A)}\; \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\textbf{B)}\; \begin{pmatrix} -2^{2017} & -1 \\ 3^{2017} & 1 \end{pmatrix}$ $\textbf{C)}\; \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ $\textbf{D)}\; \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}.$