3 Sea $n$ un entero positivo. Considere una cuadrícula de $2 \times n$ dividida en cuadrados de $1 \times 1$. Cada uno de los cuadrados está etiquetado con un número distinto seleccionado del $1$ al $2n$, usando cada número exactamente una vez. Definimos un camino en la cuadrícula etiquetada como una sucesión de cuadrados, tal que cada par de cuadrados consecutivos comparte un lado en la cuadrícula, y que nunca visita un cuadrado más de una vez. Un camino es ascendente si las etiquetas de los cuadrados visitados están en orden creciente (es decir, si el camino pasa por el cuadrado etiquetado con $i$ y luego visita el cuadrado etiquetado con $j$, entonces $i < j$). Finalmente, un camino es completo si comienza en el cuadrado etiquetado con $1$ y termina en el cuadrado etiquetado con $2n$. Para cada una de las etiquetaciones del rectángulo de $2 \times n$ calculamos el número de caminos ascendentes completos. Determine el máximo de estos números en términos de $n$. Nota. En el siguiente tablero de $2 \times 5$, el camino $1, 3, 8, 10$ es un camino ascendente completo. [asy] unitsize(1cm); for(int i = 0; i < 3; ++i) { draw((0,i)--(5,i)); } for(int i = 0; i < 6; ++i) { draw((i,0)--(i,2)); } int[] a = {7,9,1,3,6}; int[] b = {4,2,5,8,10}; for(int i = 0; i < 5; ++i) { label((i + 0.5, 1.5), "$" + string(a[i]) + "$"); label((i + 0.5, 0.5), "$" + string(b[i]) + "$"); } draw((2.6,1.5)--(3.2,1.5){right}..(3.5,1.2){down}--(3.5,0.8){down}..(3.8,0.5){right}--(4.4,0.5), linewidth(1.5pt),EndArrow(size=2pt, arrowhead=HookHead)); [/asy]