1. Inicialmente, solo el entero $44$ está escrito en un pizarrón. Un entero $a$ en el pizarrón puede ser reemplazado por cuatro enteros distintos por pares $a_1, a_2, a_3, a_4$ tales que la media aritmética $\frac 14 (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)$ de los cuatro nuevos enteros sea igual al número $a$. En un paso reemplazamos simultáneamente todos los enteros del pizarrón de la manera anterior. Después de $30$ pasos terminamos con $n = 4^{30}$ enteros $b_1, b_2,\ldots, b_n$ en el pizarrón. Demuestra que \[\frac{b_1^2 + b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2}{n}\geq 2011.\] Amir