10 Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto $M$ en el plano ( $ABC$ ) . Sean $A', B', C'$ respectivamente los simétricos respecto de $M$ de los puntos $A, B, C$ . I. Demuestre que existe un único punto $P$ equidistante de $A$ y $B'$ , de $B$ y $C'$ y de $C$ y $A'$ . II. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ . Cuando $M$ varía ( $M$ no coincide con $D$ ) , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $MNP$ ( $N$ es la intersección de la recta $DM$ con $AP$ ) pasa por un punto fijo.