Para cada $n \in \mathbb{N}$ , sea $D(n)$ el conjunto de todos los divisores positivos de $n$ . Determine el menor $k$ (en función de $n$ ) para el cual existen números naturales $$1 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_k \leq n$$ tales que $$D(x_1) \cup D(x_2) \cup \cdots \cup D(x_k) = \{1, 2, \ldots, n\}.$$