Tenemos un tablero de $9 \times 9$ formado por 81 cuadrados unitarios. Considere los 100 puntos que son los vértices de esos cuadrados. Si coloreamos de rojo $k$ de esos vértices, ¿cuál es el mayor valor que puede tomar $k$ tal que no haya dos puntos rojos cuya distancia sea de la forma $m\sqrt{2}$ , donde $m$ es un entero positivo?