Emilio y Mariano juegan en un tablero de $13 \times 13$ de la siguiente manera: Emilio elige $k$ casillas del borde del tablero y colorea cada una de negro o de blanco. Luego, Mariano colorea de negro o de blanco cada una de las $(169 - k)$ casillas restantes. Si después de colorear todas las casillas Emilio encuentra un sub-tablero de $2 \times 2$ con un número impar de casillas negras, gana; en caso contrario, gana Mariano. Determine el menor $k$ para el cual Emilio tiene una estrategia ganadora.