En un triángulo acutángulo $ABC$ , se trazan las alturas $AP$ y $BQ$ , y $M$ es el punto medio del lado $AB$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $BMP$ es tangente al lado $AC$ , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AMQ$ es tangente a la prolongación del lado $BC$ .