En el triángulo acutángulo \(ABC\) con circuncentro \(O\) y ortocentro \(H\), sea \(D\) un punto arbitrario en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) tal que \(D\) no esté sobre la recta \(OB\) y que la recta \(OD\) no sea paralela a la recta \(BC\). Sea \(E\) el punto en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) tal que \(DE\) es perpendicular a \(BC\), y sea \(F\) el punto en la recta \(AC\) tal que \(FA = FE\). Sean \(P\) y \(R\) los puntos en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) tales que \(PE\) es un diámetro, y \(BH\) y \(DR\) son paralelas. Sea \(M\) el punto medio de \(DH\). (a) Demuestra que \(AP\) y \(BR\) son perpendiculares. (b) Demuestra que \(FM\) y \(BM\) son perpendiculares.