Se da un entero positivo $n$. Llamaremos permutación a toda función inyectiva $f:\{1, \dots, n\}\rightarrow\{1, \dots, n\}$. Se dan permutaciones $f_1, \dots, f_N$ distintas por pares. Supón que para todo par de índices (no necesariamente distintos) $i, j$, existe $k$ tal que $f_i\circ f_j=f_k$. Para $1\leq i<j\leq n$ sea $Z(i, j)$ el número de índices $l$ tales que $f_l(i)>f_l(j)$. Demuestra que $$\frac{N}{2}\cdot \sum_{1\leq i<j\leq n}Z(i, j)=\sum_{1\leq i<j\leq n}Z(i, j)^2.$$