11 Sea $S(N)$ la suma de las cifras de un entero positivo $N$ en su representación decimal. Llamamos ingenioso a un par $(m,n)$ de enteros positivos si existe $a \in \mathbb{Z}_+$ tal que \[\frac{a \cdot mS(mn)-S(n)}{a \cdot nS(mn) - S(m)} = - \frac{m}{n}.\] Demuestre que existe un entero positivo $C$ tal que todo par ingenioso $(m,n)$ satisface $\text{gcd}(m,n) \mid C$ .