Sea $p$ un número primo impar, y sea $\mathbb{F}_p$ el cuerpo de los enteros módulo $p$. Sea $\mathbb{F}_p[x]$ el anillo de polinomios sobre $\mathbb{F}_p$, y sea $q(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ dado por $q(x) = \sum_{k=1}^{p-1} a_k x^k$ donde $a_k = k^{(p-1)/2} \bmod p$. Encuentra el mayor entero no negativo $n$ tal que $(x-1)^n$ divide a $q(x)$ en $\mathbb{F}_p[x]$.