6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB + BC = 4 AC$. Sea $D$ un punto en $AC$ tal que $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$. Sobre el segmento $BD$, se marcan los puntos $P$ y $Q$ tales que $BP = 2 \, DQ$. Sea la perpendicular desde $Q$ a $BD$ que interseca a $AB$ y $BC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Sea $L$ la recta que pasa por $P$ paralela a $AC$. El punto $B$ se encuentra en el semiplano opuesto determinado por $L$ respecto a los puntos $X$ e $Y$. Una hormiga comienza en el punto $X$, se mueve a un punto sobre la recta $AC$, luego a un punto sobre $L$, regresa a un punto sobre la recta $AC$, y finalmente termina en el punto $Y$. Demuestra que la longitud mínima del recorrido de la hormiga es $4 XY$.