Un cuadrado de lado $2008$ se divide en regiones que son todas cuadrados de lado $1$ . En cada región se escribe $0$ o $1$ , y el número de $1$ y de $0$ es el mismo. Se elimina la frontera entre dos de las regiones, y también se eliminan los números de cada una de ellas, mientras que en la nueva región se registra su media aritmética. Después de varias de estas operaciones, solo queda un cuadrado, que es el propio cuadrado grande. Demuestre que es posible realizar estas operaciones de tal manera que el número final en el cuadrado grande sea menor que $\frac{1}{2^{10^6}}$ .