Sea $p$ un número primo impar y sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Suponga que una función $f:\mathbb{Z}_{>0}\times\mathbb{Z}_{>0}\to\{0,1\}$ satisface las siguientes propiedades: $f(1,1)=0$ . $f(a,b)+f(b,a)=1$ para todo par de enteros positivos coprimos $(a,b)$ no ambos iguales a 1; $f(a+b,b)=f(a,b)$ para todo par de enteros positivos coprimos $(a,b)$ . Demuestre que $$\sum_{n=1}^{p-1}f(n^2,p) \geqslant \sqrt{2p}-2.$$