Sea $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función continua estrictamente creciente tal que \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}=1. \] (a) Demuestre que la sucesión $(x_n)_{n \ge 1}$ definida por \[ x_n=f \left(\frac{1}{1} \right)+f \left(\frac{1}{2} \right)+\cdots+f \left(\frac{1}{n} \right)-\int_1^n f \left(\frac{1}{x} \right) \mathrm dx \] es convergente. (b) Halle el límite de la sucesión $(y_n)_{n \ge 1}$ definida por \[ y_n=f \left(\frac{1}{n+1} \right)+f \left(\frac{1}{n+2} \right)+\cdots+f \left(\frac{1}{2021n} \right). \]