B4 El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Una demostración de la parte (a) será premiada con 5 puntos. Se pueden otorgar hasta 7 puntos adicionales por avances en la parte (b). Sea $p(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes pertenecientes al conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ . Suponga que, para cada $1 \le k \le d-1$ , $p(x)$ y su $k$ -ésima derivada $p^{(k)}(x)$ tienen una raíz común en $\mathbb{Q}$ ; es decir, existe $r_k \in \mathbb{Q}$ tal que $p(r_k) = p^{(k)}(r_k) = 0$ . (a) Demuestre que si $d$ es primo entonces existen constantes $a, b, c \in \mathbb{Q}$ tales que \[ p(x) = c(ax + b)^d. \] (b) ¿Para qué enteros $d \ge 2$ se cumple la conclusión de la parte (a)?