A3 Sea $W$ un entero positivo fijo. Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $a \neq b$ . Para cada $(a, b) \in S$ , sea $m(a,b)$ el mayor entero que satisface \[ m(a, b) \leq \frac{1 + na}{1 + nb} \] para todo entero $n \geq 1$ . (a) Para cada $(a, b) \in S$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que \[ m(a,b) \leq \frac{1 + na}{W + nb} \] para todo $n \geq k$ . (b) Para cada $(a, b) \in S$ , sea $k(a,b)$ el menor valor de $k$ que satisface la condición del inciso (a). Determine $\max \{k(a,b) \mid (a,b) \in S \}$ o demuestre que no existe.