2010.2.2 Sea \( I \) el centro de la circunferencia inscrita del triángulo \( ABC \) y sean \( A_1 \), \( B_1 \) y \( C_1 \) puntos arbitrarios sobre los segmentos \( AI \), \( BI \) y \( CI \). Denotemos por \( A_2 \) la intersección de las mediatrices de los segmentos \( BB_1 \) y \( CC_1 \), por \( B_2 \) la intersección de las mediatrices de los segmentos \( AA_1 \) y \( CC_1 \), y por \( C_2 \) la intersección de las mediatrices de los segmentos \( AA_1 \) y \( BB_1 \). Demuestra que los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos \( ABC \) y \( A_2B_2C_2 \) coinciden cuando \( I \) es el ortocentro del triángulo \( A_1B_1C_1 \).