4 Sea $k$ un entero positivo, y sea $n=2^k$ , $N=\{1, 2, \cdots, n\}$ . Para cualquier función biyectiva $f:N\rightarrow N$ , si un conjunto $A\subset N$ contiene un elemento $a\in A$ tal que $\{a, f(a), f(f(a)), \cdots\} = A$ , entonces llamamos a $A$ un ciclo de $f$ . Demuestre que: entre todas las funciones biyectivas $f:N\rightarrow N$ , al menos $\frac{n!}{2}$ de ellas tienen un número de ciclos menor o igual que $2k-1$ . Nota: Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva; en otras palabras, es uno a uno y sobre. Propuesto por CSJL