9 Para todo entero $m\ge 1$ , sea $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros módulo $m$ . Sea $p$ un primo fijo y sean $a\ge 2$ y $e\ge 1$ enteros fijos. Dada una función $f\colon \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ y un entero $k\ge 0$ , la $k$ -ésima diferencia finita , denotada $\Delta^k f$ , es la función de $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ definida recursivamente por \begin{align*} \Delta^0 f(n)&=f(n)\\ \Delta^k f(n)&=\Delta^{k-1}f(n+1)-\Delta^{k-1}f(n) & \text{for } k=1,2,\dots. \end{align*} Determine el número de funciones $f$ para las cuales existe algún $k\ge 1$ con $\Delta^kf=f$ . Holden Mui