6 Sea $n > 2$ un entero y sea $\ell \in \{1, 2,\dots, n\}$ . Una colección $A_1,\dots,A_k$ de subconjuntos (no necesariamente distintos) de $\{1, 2,\dots, n\}$ se llama $\ell$ - grande si $|A_i| \ge \ell$ para todo $1 \le i \le k$ . Halle, en términos de $n$ y $\ell$ , el mayor número real $c$ tal que la desigualdad \[ \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k x_ix_j\frac{|A_i\cap A_j|^2}{|A_i|\cdot|A_j|}\ge c\left(\sum_{i=1}^k x_i\right)^2 \] se cumple para todo entero positivo $k$ , todos los números reales no negativos $x_1,x_2,\dots,x_k$ y todas las colecciones $\ell$ - grandes $A_1,A_2,\dots,A_k$ de subconjuntos de $\{1,2,\dots,n\}$ . Propuesto por Titu Andreescu y Gabriel Dospinescu Mr.Trick