3 Alice la arquitecta y Bob el constructor juegan un juego. Primero, Alice elige dos puntos $P$ y $Q$ en el plano y un subconjunto $\mathcal{S}$ del plano, que son anunciados a Bob. Luego, Bob marca infinitos puntos en el plano, designando a cada uno como una ciudad. No puede colocar dos ciudades a distancia a lo sumo una unidad entre sí, y no puede colocar tres ciudades colineales. Finalmente, se construyen carreteras entre las ciudades como sigue: para cada par $A,\,B$ de ciudades, se conectan con una carretera a lo largo del segmento de recta $AB$ si y solo si se cumple la siguiente condición: Para toda ciudad $C$ distinta de $A$ y $B$ , existe $R\in\mathcal{S}$ tal que $\triangle PQR$ es directamente semejante a $\triangle ABC$ o a $\triangle BAC$ . Alice gana el juego si (i) las carreteras resultantes permiten viajar entre cualquier par de ciudades mediante una sucesión finita de carreteras y (ii) no hay dos carreteras que se crucen. De lo contrario, gana Bob. Determine, con demostración, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Nota: $\triangle UVW$ es directamente semejante a $\triangle XYZ$ si existe una sucesión de rotaciones, traslaciones y homotecias que envían $U$ a $X$ , $V$ a $Y$ y $W$ a $Z$ . KevinYang2.71