Sea $P = A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1A_2 \dots A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea $S$ el área de $P$. Sea $n$ un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son todos números enteros divisibles por $n$. Demuestra que $2S$ es un entero divisible por $n$.

El triángulo $BCF$ es rectángulo en $B$. Sea $A$ el punto de la recta $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$. Se elige el punto $D$ de modo que $DA = DC$ y $AC$ es bisectriz del ángulo $\angle DAB$. Se elige el punto $E$ de modo que $EA = ED$ y $AD$ es bisectriz del ángulo $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (con $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las rectas $BD$, $FX$, y $ME$ son concurrentes.

Un conjunto de números enteros positivos se llama "fragante" si contiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea $P(n)=n^2+n+1$. Determina el menor número entero positivo b para el cual existe algún número entero no negativo tal que el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots, P(a+b)\}$$ es fragrante.

En la pizarra está escrita la ecuación \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Decimos que un conjunto finito $S$ de puntos en el plano es "equilibrado" si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $S$ hay un punto $C$ en $S$ tal que $AC=BC$. Decimos que $S$ es "libre de centros" si para cada tres puntos distintos $A,B,C$ en $S$ no existe ningún punto $P$ en $S$ tal que $PA=PB=PC$. (a) Demuestra que para todo $n\geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado. (b) Determina todos los enteros $n$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.

Se tienen $n \ge 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n-1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección. (a) Demuestra que si $n$ es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo. (b) Demuestra que si $n$ es par, Mafalda nunca logrará su objetivo.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números $$ab-c, \quad bc-a,\quad ca-b$$ es una potencia de 2.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\gt AC$. Sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$. Supongamos que los puntos $A,B,C,K$ y $Q$ son todos distintos y están sobre $\Gamma$ en ese orden. Demuestra que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Una ciccunferencia $\Gamma$ de centro $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ tales que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos diferentes y están en la recta $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, tales que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ están sobre $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demuestra que $X$ está en la recta $AO$.

La sucesión de enteros $a_1,a_2,\dots$ satisface las siguientes condiciones: (i) $1\leq a_j \leq 2015$ para todo $j\geq 1$; \newline (ii) $k+a_k\neq\ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k \lt \ell$. Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] Para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.