2 Igual que la versión Junior

4 Charlotte escribe en la pizarra los enteros $1,2,3,\ldots,2025$ . Charlotte tiene dos operaciones disponibles: la operación MCD y la operación MCM. La operación MCD consiste en elegir dos enteros $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el entero $\operatorname{gcd}(a, b)$ . La operación MCM consiste en elegir dos enteros $a$ y $b$ escritos en la pizarra, borrarlos y escribir el entero $\operatorname{lcm}(a, b)$ . Un entero $N$ se llama número ganador si existe una sucesión de operaciones tal que, al final, el único entero que queda en la pizarra es $N$ . Halle todos los números ganadores entre $\{1,2,3,\ldots,2025\}$ y, para cada uno de ellos, determine el número mínimo de operaciones MCD que Charlotte debe usar. Nota: El número $\operatorname{gcd}(a, b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b$ , mientras que el número $\operatorname{lcm}(a, b)$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ .

7 Cada punto de un círculo está coloreado de azul o de amarillo, de modo que hay al menos un punto de cada color. Demuestre que para toda coloración del círculo existe siempre un triángulo isósceles inscrito en el círculo 1) con todos los vértices del mismo color. 2) con vértices de ambos colores. ¿Para toda coloración del círculo existe un triángulo equilátero inscrito en el círculo 3) con todos los vértices del mismo color? 4) con vértices de ambos colores?

8 Sea $ABCD$ un trapecio con bases $ AB$ y $CD$ $(AB>CD)$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $ N$ y las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $ M$ . Las circunferencias circunscritas de $ADN$ y $BCN$ se intersecan en el punto $ P$ , distinto del punto $ N$ . Demuestre que los ángulos $AMP$ y $BMN$ son iguales.

9 Sean $ AD $ , $ BE $ y $ CF $ las alturas de $ \Delta ABC $ . Los puntos $ P, \, \, Q, \, \, R $ y $ S $ son los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $ D $ sobre los segmentos $ BA $ , $ BE $ , $ CF $ y $ CA $ , respectivamente. Demuestre que los puntos $ P, \, \, Q, \, \, R $ y $ S $ son colineales.

10 En un torneo de ajedrez participaron $ 100 $ jugadores. Cada jugador jugó una partida contra cada uno de los demás. Por una victoria se otorga $1$ punto, por una derrota $ 0 $ y por un empate ambos jugadores reciben $0,5$ puntos. Ion obtuvo más puntos que cualquier otro jugador. Mihai perdió solo una partida, pero obtuvo menos puntos que cualquier otro jugador. Halle todos los valores posibles de la diferencia entre los puntos acumulados por Ion y los puntos acumulados por Mihai.

11 Halle todos los primos $x,y$ y $z,$ tales que $x^5 +y^3 -(x+y)^2=3z^3$

12 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3. $ Demuestre que $$\frac{a^4+3ab^3}{a^3+2b^3}+\frac{b^4+3bc^3}{b^3+2c^3}+\frac{c^4+3ca^3}{c^3+2a^3}\leq4.$$

1 Los enteros $a, b, c, d$ satisfacen $a+b+c+d=0$ . Demuestre que $$n=(ab-cd)\cdot(bc-ad)\cdot(ca-bd)$$ es un cuadrado perfecto.

2 Demuestre que para todo entero $n\geq2$ existen dos potencias distintas de $n$ tales que su suma es mayor que $10^{2023}$ y su diferencia positiva es divisible por $2023$ .