Sea $\gamma$ un círculo y $l$ una línea en su plano. Sea $K$ un punto en $l$ , ubicado fuera de $\gamma$ . Sean $KA$ y $KB$ las tangentes desde $K$ a $\gamma$ , donde $A$ y $B$ son puntos distintos en $\gamma$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos en $\gamma$ . Las líneas $PA$ y $PB$ intersecan la línea $l$ en dos puntos $R$ y respectivamente $S$ . Las líneas $QR$ y $QS$ intersecan la segunda vez al círculo $\gamma$ en los puntos $C$ y $D$ . Pruebe que las tangentes desde $C$ y $D$ a $\gamma$ son concurrentes en la línea $l$ .

Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos mayores que $1$ . Pruebe que existen $m$ enteros positivos $N_1$ , $\ldots$ , $N_m$ (algunos de ellos pueden ser iguales) tales que \n\[\sqrt{m}=\sum_{i=1}^m{(\sqrt{N_i}-\sqrt{N_i-1})^{\frac{1}{n}}.}\]

Sea $k$ un entero positivo. Encuentre el valor máximo de \n\[a^{3k-1}b+b^{3k-1}c+c^{3k-1}a+k^2a^kb^kc^k,\]\ndonde $a$ , $b$ , $c$ son reales no negativos tales que $a+b+c=3k$ .

Encuentre el número máximo posible de reyes en una mesa de ajedrez de $12\times 12$ de modo que cada rey ataque exactamente a uno de los otros reyes (un rey ataca solo las casillas que tienen un punto en común con la casilla en la que se sienta).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito tal que $\angle ABC+\angle ADC<180^{\circ}$ y $\angle ABD+\angle ACB=\angle ACD+\angle ADB$ . Pruebe que una de las diagonales del cuadrilátero $ABCD$ pasa por el punto medio de la otra diagonal.

Pruebe que para cualquier entero positivo $n\geq 2$ tenemos que \n\[\sum_{k=2}^n \lfloor \sqrt[k]{n}\rfloor=\sum_{k=2}^n\lfloor\log_{k}n\rfloor.\]

Sean $p$ y $q$ dos enteros positivos dados. Se dice que un conjunto de $p+q$ números reales $a_1<a_2<\cdots <a_{p+q}$ está balanceado si y solo si $a_1,\ldots,a_p$ es una progresión aritmética con diferencia común $q$ y $a_p,\ldots,a_{p+q}$ es una progresión aritmética con diferencia común $p$ . Encuentre el número máximo posible de conjuntos balanceados, de modo que dos cualesquiera de ellos tengan una intersección no vacía.

Pruebe que un grafo planar simple finito tiene una orientación tal que cada vértice tiene grado de salida a lo sumo 3.

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de números reales y sea $x$ un elemento de $A+B$ . Pruebe que \n\[|A\cap (x-B)|\leq \frac{|A-B|^2}{|A+B|}\] donde $A+B=\{a+b: a\in A, b\in B\}$ , $x-B=\{x-b: b\in B\}$ y $A-B=\{a-b: a\in A, b\in B\}$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que los triángulos $BCD$ y $CDA$ no son equiláteros. Pruebe que si la línea de Simson de $A$ con respecto a $\triangle BCD$ es perpendicular a la línea de Euler de $BCD$ , entonces la línea de Simson de $B$ con respecto a $\triangle ACD$ es perpendicular a la línea de Euler de $\triangle ACD$ .