Sean $n_1,\ldots,n_k$ enteros positivos, y definamos $d_1=1$ y $d_i=\frac{(n_1,\ldots,n_{i-1})}{(n_1,\ldots,n_{i})}$ , para $i\in \{2,\ldots,k\}$ , donde $(m_1,\ldots,m_{\ell})$ denota el máximo común divisor de los enteros $m_1,\ldots,m_{\ell}$ . Pruebe que las sumas \n\[\sum_{i=1}^k a_in_i\] con $a_i\in\{1,\ldots,d_i\}$ para $i\in\{1,\ldots,k\}$ son mutuamente distintas $\mod n_1$ .

La superficie lateral de un cilindro de revolución se divide por $n-1$ planos paralelos a la base y $m$ generatrices paralelas en $mn$ casos $( n\ge 1,m\ge 3)$ . Dos casos se llamarán casos vecinos si tienen un lado común. Demuestra que es posible escribir un número real en cada caso tal que cada número es igual a la suma de los números de los casos vecinos y no todos los números son cero si y solo si existen enteros $k,l$ tales que $n+1$ no divide a $k$ y \[ \cos \frac{2l\pi}{m}+\cos\frac{k\pi}{n+1}=\frac{1}{2}\]

Encuentra todos los enteros positivos $ k$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Si $ F(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros que satisface la condición $ 0 \leq F(c) \leq k$ para cada $ c\in \{0,1,\ldots,k + 1\}$ , entonces $ F(0) = F(1) = \ldots = F(k + 1)$ .

Encuentra todas las funciones monótonas $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que tienen la propiedad de que existe una función estrictamente monótona $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que \[f(x+y)=f(x)u(x)+f(y) \] para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Sea $n$ un entero positivo y $\mathcal{P}_n$ sea el conjunto de polinomios enteros de la forma $a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$ donde $|a_i|\le 2$ para $i=0,1,\ldots ,n$ . Encuentra, para cada entero positivo $k$ , el número de elementos del conjunto $A_n(k)=\{f(k)|f\in \mathcal{P}_n \}$ .

Sea $ n \ge 3$ un número primo y $ a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$ sean enteros. Demuestra que $ a_{1}, \cdots,a_{n}$ es una progresión aritmética si y solo si existe una partición de $ \{0, 1, 2, \cdots \}$ en conjuntos $ A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ tal que \[ a_{1} + A_{1} = a_{2} + A_{2} = \cdots = a_{n} + A_{n},\] donde $ x + A$ denota el conjunto $ \{x + a \vert a \in A \} $ .

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $n\ge 2$ un entero. Denote por $\mathcal{A}$ el conjunto de $n-1$ líneas rectas que son paralelas a $BC$ y dividen la superficie $[ABC]$ en $n$ polígonos que tienen la misma área y denote por $\mathcal{P}$ el conjunto de $n-1$ líneas rectas paralelas a $BC$ que dividen la superficie $[ABC]$ en $n$ polígonos que tienen el mismo perímetro. Demuestra que la intersección $\mathcal{A} \cap \mathcal{P}$ está vacía.

Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser descompuesto en el producto de dos polinomios enteros no constantes.

Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestra que contiene la sexta potencia de un entero.

Sea $n\ge 2$ un entero. Demuestra que existe un subconjunto $A\in \{1,2,\ldots ,n\}$ tal que: i) El número de elementos de $A$ es a lo sumo $2\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1$ ii) $ \{ |x-y| \mid x,y\in A, x\not= y\} = \{ 1,2,\ldots n-1 \}$