En un torneo con $n \geq 3$ competidores cada uno jugó una vez contra cada uno de los demás. No hubo empates y ningún competidor le ganó a todos los demás. (a) Probar que hubo tres competidores $a$, $b$ y $c$ tales que $a$ le ganó a $b$, $b$ le ganó a $c$ y $c$ le ganó a $a$. (b) Para cada $n \geq 3$ dar un ejemplo en que sólo haya una terna de competidores \{$a,b,c\} con las condiciones del inciso anterior.

En un paralelogramo $ABCD$, sean $L$, $M$ y $N$ los respectivos puntos medios de los lados $AB$, $BC$ y $CD$. Sean $P$ y $Q$ los puntos intersección de $AM$ con $DL$ y con $BN$, respectivamente. Probar que las áreas de los triángulos $APL$ y $BQM$ son iguales.

Unas líneas rectas se dibujan en el plano de manera que entre los ángulos formados se encuentran todos los siguientes $10^\circ$, $20^\circ$, $30^\circ$, $40^\circ$, $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$. ¿Cuál es la menor cantidad posible de rectas?

En un triángulo que tiene área 1, sea $M$ el producto del perímetro del triángulo con la suma de las tres alturas del mismo triángulo. Probar que $M > 12$.

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$; $D$ es un punto sobre $AC$ tal que $DB$ es perpendicular a $BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $|CE| = 2|BC|$ y $F$ es un punto sobre $ED$ tal que $FC$ es paralela a $AB$. Probar que la recta $FA$ es paralela a $BC$.[image]

En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto $7+1$ lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15+1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.

Encontrar todos los enteros positivos $A$ menores que 4 millones, tales que $10A$ es un cuadrado y $6A$ es un cubo.

En un campamento de verano que va a durar $n$ semanas se quiere dividir el tiempo en 3 períodos de manera que cada período empiece un lunes y termine un domingo. El primer período se dedicará a labores artísticas, el segundo será para deportes y en el tercero se hará un taller tecnológico. Durante cada período se escogerá un lunes para que un experto en el tema del período dé una plática. Sea $C(n)$ el número de formas en que puede hacerse el calendario de actividades. (Por ejemplo, si $n = 10$ una forma en que podría hacerse el calendario es poniendo las cuatro primeras semanas para arte y la plática con el artista el primer lunes; las siguientes 5 semanas podrían ser para deportes, con la visita del deportista el cuarto lunes de ese período; la semana restante sería para el taller tecnológico y la plática sería el lunes de esa semana.) (a) Calcular $C(8)$. (b) Probar que para cualquier $n$ natural, $C(n)$ es un coeficiente binomial, es decir, encontrar $k$ y $r$ naturales tales que $C(n) = \binom{k}{r}$.

Dado un natural $n$, sea $[n] = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$. Digamos que $n$ es partible si existen dos conjuntos $A$ y $B$ tales que $A \cup B = [n]$, $A \cap B = \emptyset$ y las sumas de parejas de elementos de $A$ son todas distintas entre sí y lo mismo ocurre con $B$. Por ejemplo, 5 es partible pues al tomar $A = \{2, 3, 5\}$ y $B = \{1, 4\}$, las sumas de las parejas de $A$ son $2+3=5$, $2+5=7$ y $3+5=8$ (y los resultados 5, 7 y 8 son distintos) y lo mismo ocurre en $B$, pues sólo hay una suma (con resultado 5). Probar que 10 es partible pero que 15 no lo es.

En el hexágono $AYCXBZ$ los lados $AZ$ y $CX$ son perpendiculares a la diagonal $AC$; los lados $AY$ y $BX$ son perpendiculares a la diagonal $AB$, y los lados $BZ$ y $CY$ son perpendiculares a la diagonal $BC$. (a) Probar que $AX$, $CZ$ y $BY$ concurren. (b) Probar que si el área del triángulo $ABC$ es 1, entonces $BC(CY+BZ) + AB(AY+BX) + AC(CX+AZ) = 8$. [image]