Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Sea $\ell$ una recta tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ las rectas que se obtienen al reflejar $\ell$ con respecto a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos $K$, $L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC = SP$, demuestra que $MK = ML$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que \[\left(g(m)+n\right)\left(m+g(n)\right)\] Es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in \mathbb{N}$.

Demuetra que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que $$x^{2008}+2008!=21^y.$$

Sea $s_1,s_2,s_3,\ldots$ una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsecuencias \[s_{s_1},\, s_{s_2},\, s_{s_3},\, \ldots\qquad\text{y}\qquad s_{s_1+1},\, s_{s_2+1},\, s_{s_3+1},\, \ldots\] están ambas en progresión aritmética. Muestra que la secuencia $s_1,s_2,s_3,\ldots$ está en progresión aritmética.

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión de números reales positivos. Se tiene que para algún\nentero positivo $s$,\n\[a_n = \max\{a_{\ell} + a_{n -k} \mid 1\leq k\leq n-1\} \textrm{ para todo } \ n \geq s.\]\nDemuestra que existen enteros positivos $\ell$ y $N$ , con $\ell \leq s$, tales que \n$$a_n = a_{\ell} + a_{n-\ell} \text{ para todo }n \geq N.$$

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $\Gamma_{A}$ con centro sobre el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ interseca a $BC$ en los puntos $A_1$ y $A_2$. Los puntos $ B_{1}$, $ B_{2}$, $ C_{1}$ y $ C_{2}$ se definen de manera similar. Muestra que los seis puntos $ A_{1}$, $ A_{2}$, $ B_{1}$, $ B_{2}$, $ C_{1}$ y $ C_{2}$ están sobre una misma circunferencia.

Encuentra todas las funciones $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado con longitud de lados \[ a, f(b) \text{ y } f(b + f(a) - 1).\]

En cada una de las seis cajas $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones: Tipo 1: Elegir una caja no vacía $B_j$, con $1 \leq j \leq 5$. Retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$. Tipo 2: Elegir una caja no vacía $B_k$, con $1 \leq k \leq 4$. Retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$. Determina si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ vacías y a la caja $B_6$ con exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $P$ y $Q$ son puntos sobre los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$, y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$, y $PQ$, respectivamente, y sea $\Gamma$ el circuncírculo que pasa por $K$, $L$ y $M$. Muestra que $OP=OQ$ si $PQ$ es tangente a $\Gamma$.