Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se cortan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se cortan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$, y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $ST$.

El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ conocidos por ambos jugadores. Al principio del juego, el jugador $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1 \leq x \leq N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto, y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ de la siguiente manera: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador $B$ puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera $k + 1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera. Cuando $B$ haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más n enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ entonces gana $B$; en caso contrario, pierde. Demuestra que: 1. Si $n \geq 2^k$, entonces $B$ puede asegurarse la victoria. 2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n \geq 1.99^k$ tal que B no puede asegurarse la victoria.

Para cualquier conjunto $A = {a_1, a_2, a_3, a_4}$ de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma $a_1+a_2+a_3+a_4$ por $s_A$. Sean $A$ el número de parejas $(i,j)$ con $1\leq i\lt j\leq 4$ para las cuales $a_i + a_j$ divide a $s_A$. Encuentra todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de $n_A$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BCA = 90^{\circ}$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto en el segmento $AX$ tal que $BK = BC$. Análogamente, sea $L$ el punto en el segmento $BX$ tal que $AL = AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demuestra que $MK = ML$.

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $\ell$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $\ell$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente. Demuestra que se puede elegir un punto $P$ de $S$ y una recta $\ell$ que pasa por $P$ tales que el remolino que resulta usa cada punto de $S$ como centro de rotación un número infinito de veces.

Sea $n > 0$ un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de $n$ pesas cuyos pesos son $2^0, 2^1, \dots , 2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de manera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determina el número de formas en las que esto se puede hacer.

Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todo par de números reales $x, y$. Demuestra que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$.

Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, la diferencia $f (m) - f (n)$ es divisible por $f (m - n).$ Demuestra que para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \] para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Sea $\ell$ una recta tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ las rectas que se obtienen al reflejar $\ell$ con respecto a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas $\ell_a$, $\ell_b$ y $\ell_c$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$.